Witam. Bardzo prosiłbym o rozwiązania (albo pomoc w rozwiązaniu) tych oto kilku zadań:
1. Ile jest różnych rozmieszczeń k nierozróżnialnych kul w m rozróżnialnych (nierozróżnialnych) komórkach i takich, że w każdej z komórek znajduje się co najwyżej jedna kula?
2. Wyprowadzić:
\(\displaystyle{ (x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} x^{k} y^{n-k}}\)
3. Wyznaczyć ilość różnych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=30}\) w zbiorze liczb:
a) całkowitych nieujemnych
b) naturalnych
4. W cukierni "Łasuch" można kupić bajaderki, eklery, napoleonki i wuzetki. "Łasuch" dostał zamówienie na dwa typy paczek. Paczki pierwszego typu mają być złożone z 15-u ciastek oraz w każdej takiej paczce ma się znaleźć przynajmniej jedno ciastko każdego rodzaju. Paczki drugiego typu mają zawierać po 10 ciastek. Czy istnieje więcej możliwości utworzenia paczek pierwszego, czy drugiego typu?
Kilka zadań
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Kilka zadań
z zadaniem 1 jest jakaś lipa chyba bo raczej powinno się założyć coś o n i k
a powinieneś sobie poczytać coś na temat podziałów liczb i podziałów zbiorów liczb Stirlinga
nie ma tu miejsca na wykłady ale jest wzór na P(n,k) przy n nierozróżnialnych i k nierozróżnialnych tak samo jak i na S(n,k) liczby stirlinga wiąże się to z podziałami zbiorów itd...
wyprowadzenie takiego wzoru w zadaniu 2 jest wszędzie...
nawet w książce do polskiego...
3a masz:
\(\displaystyle{ {30+4-1\choose 30}}\)
3b masz:
\(\displaystyle{ {30-1 \choose 4-1}}\)
a powinieneś sobie poczytać coś na temat podziałów liczb i podziałów zbiorów liczb Stirlinga
nie ma tu miejsca na wykłady ale jest wzór na P(n,k) przy n nierozróżnialnych i k nierozróżnialnych tak samo jak i na S(n,k) liczby stirlinga wiąże się to z podziałami zbiorów itd...
wyprowadzenie takiego wzoru w zadaniu 2 jest wszędzie...
nawet w książce do polskiego...
3a masz:
\(\displaystyle{ {30+4-1\choose 30}}\)
3b masz:
\(\displaystyle{ {30-1 \choose 4-1}}\)
Kilka zadań
Ok, dzięki, pierwsze dwa już nieaktualne.
Interesuje mnie natomiast trzecie zadanie, jak można dojść do tego wyniku? Czy mógłbyś dać
jakąś podpowiedz, w jaki sposób można wytłumaczyć, iż taki wynik jest poprawny?
Natomiast co do 4, to zacząłem je robić, jednak utknąłem w pewnym punkcie. Otóż wprowadziłem liczności zbiorów ciastek, czyli: b (bajaderki), e (eklerki), n (napoleonki) i w (wuzetki). Paczek pierwszego typu wyszło mi: \(\displaystyle{ C^{1}_{b} * C^{1}_{e} * C^{1}_{n} * C^{1}_{w} * C^{b-1+e-1+n-1+w-1}_{11}}\). Paczek drugiego typu jest \(\displaystyle{ C^{b+e+n+w}_{11}}\). O ile dobrze robię to wyszło mi możłiwości paczek I typu: \(\displaystyle{ b*e*n*w*{b-1+e-1+n-1+w-1\choose 11}}\) a paczek II typu: \(\displaystyle{ {b*e*n*w\choose 10}}\). I teraz następuje moja "zagwozdka": da się to jakoś rozpisać, aby można było porównać i aby okazało się która liczba z tych dwóch jest większa?
Interesuje mnie natomiast trzecie zadanie, jak można dojść do tego wyniku? Czy mógłbyś dać
jakąś podpowiedz, w jaki sposób można wytłumaczyć, iż taki wynik jest poprawny?
Natomiast co do 4, to zacząłem je robić, jednak utknąłem w pewnym punkcie. Otóż wprowadziłem liczności zbiorów ciastek, czyli: b (bajaderki), e (eklerki), n (napoleonki) i w (wuzetki). Paczek pierwszego typu wyszło mi: \(\displaystyle{ C^{1}_{b} * C^{1}_{e} * C^{1}_{n} * C^{1}_{w} * C^{b-1+e-1+n-1+w-1}_{11}}\). Paczek drugiego typu jest \(\displaystyle{ C^{b+e+n+w}_{11}}\). O ile dobrze robię to wyszło mi możłiwości paczek I typu: \(\displaystyle{ b*e*n*w*{b-1+e-1+n-1+w-1\choose 11}}\) a paczek II typu: \(\displaystyle{ {b*e*n*w\choose 10}}\). I teraz następuje moja "zagwozdka": da się to jakoś rozpisać, aby można było porównać i aby okazało się która liczba z tych dwóch jest większa?
-
jovante
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
Kilka zadań
Co do zadania 3 to poszukaj wzoru na kombinacje z powtórzeniami.
Zadanie 4 możesz sprowadzić do znalezienia liczby rozwiązań równań \(\displaystyle{ b+e+n+w=15-4}\) i \(\displaystyle{ b+e+n+w=10}\) w zbiorze liczb naturalnych (wzór weź z poprzedniego zadania). Od razu widać, że różnych paczek pierwszego rodzaju można utworzyć więcej. Co do Twojego rozwiązania, to niestety jest ono błędne.
Zadanie 4 możesz sprowadzić do znalezienia liczby rozwiązań równań \(\displaystyle{ b+e+n+w=15-4}\) i \(\displaystyle{ b+e+n+w=10}\) w zbiorze liczb naturalnych (wzór weź z poprzedniego zadania). Od razu widać, że różnych paczek pierwszego rodzaju można utworzyć więcej. Co do Twojego rozwiązania, to niestety jest ono błędne.
-
Bronia
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 19 cze 2007, o 21:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 2 razy
Kilka zadań
Zadanie 3 można rozwiązać funkcją tworzącą:
\(\displaystyle{ a i b) f(y)=(y^{0}+y^{1}+y^{2}+y^{3}+...)^{4}}\)
Dla mnie całkowite nieujemne i naturalne to to samo. Aby otrzymać wynik należy wykonać potęgowanie i współczynnik przy \(\displaystyle{ y^{30}}\) będzie naszym rozwiązaniem. W nawiasie wykładnik y to możliwa wartość x. Zaczynamy od 0 i idziemy do nieskończoności, bo nasze zbiory nie mają ograniczenia z góry [30 nie ogranicza naszych zbiorów jest tylko punktem dla naszych poszukiwań], stąd '...'. Potęga 4, bo mamy cztery x z takimi samymi ograniczeniami.
\(\displaystyle{ a i b) f(y)=(y^{0}+y^{1}+y^{2}+y^{3}+...)^{4}}\)
Dla mnie całkowite nieujemne i naturalne to to samo. Aby otrzymać wynik należy wykonać potęgowanie i współczynnik przy \(\displaystyle{ y^{30}}\) będzie naszym rozwiązaniem. W nawiasie wykładnik y to możliwa wartość x. Zaczynamy od 0 i idziemy do nieskończoności, bo nasze zbiory nie mają ograniczenia z góry [30 nie ogranicza naszych zbiorów jest tylko punktem dla naszych poszukiwań], stąd '...'. Potęga 4, bo mamy cztery x z takimi samymi ograniczeniami.