na ilesposobow rozdzielic cukierki

[kingataranek]

czy moglby mi ktos prosze pomoc z takim zadaniem:
mam 25 cukierkow,
a)na ile sposobow moge podzielic te cukierki pomiedzy 10 dzieci
b)na ile sposobow moge rozdzielic cukierki jesli Ania i Kasia dostana co najmniej 4 cukierki
c) uzyj zasady wlaczen i wylaczen zeby pokazac na ile sposobow moge rozdzielic cukierkli, jezeli zadne dziecko nie oze miec wiecej niz 3 cukierki?
z gory dziekuje

[sigma_algebra1]

zakładam ze cukierki są nierozróżnialne, wtedy:
a)liczba sposobów jest równa liczbie sposobów rozmieszczenia 25 nierozróżnialnych kul w 10 szufladach czyli

\(\displaystyle{ {25+10-1\choose 10-1}}\)

b)Ania i Kasia dostają po 4 cukierki, zostaje 17 cukierków do podziału i analogicznie do a) jest to problem rozmieszczenia 17 kul w 10 szufladach, czyli

\(\displaystyle{ {17+10-1\choose 10-1}}\)

c)tutaj mam nadzieje ze oto chodzi, trochę podejrzanie wydaje mi sie to skomplikowane ale na nic innego z wykorzystaniem tej zasady nie wpadłam:
Wszystkich możliwych sposobów rpodzielenia 25 cukierków pomiędzy 10 dzieci jest tyle ile w punkcie a). Obliczmy ile jest sposobów rozmieszczenia w przypadku gdy co najmniej jedno dziecko dostanie 4 cukierki (oznaczmy takie zdarzenie jako B). Szukana liczba sposobów rozdzielenia tak, że żadne dziecko nie będzie mieć więcej niż 3 cukierki (zdarzenie C) wynosi:
|C|=liczba wszystkich sposobów-|B|
gdzie |B| oznacza moc zbioru B.
|B| mozna wyznaczyć następująco:
Niech
\(\displaystyle{ A_i}\)-oznnacza liczbę sposbów podziału cukierków, tak, że i- te dziecko dostanie co najmniej 4 cukierki i=1,...,10,
teraz stosujemy zasadę włączeń i wyłączeń:
\(\displaystyle{ |B|=|A_1+\ldots+A_{10}|=10|A_1|-{10\choose 2}|A_1\cap A_2|+{10\choose 3}|A_1\cap A_2 \cap A_3|- {10\choose 4}|A_1\cap A_2 \cap A_3\cap A_4|+ {10\choose 5}|A_1\cap A_2 \cap A_3\cap A_4\cap A_5|-{10\choose 6}|A_1\cap A_2 \cap A_3\cap A_4\cap A_5\cap A_6|=10{21+10-1\choose 10-1}-{10\choose 2}{17+10-1\choose 10-1}+{10\choose 3}{13+10-1\choose 10-1}-{10\choose 4}{9+10-1\choose 10-1}+{10\choose 5}{5+10-1\choose 10-1}-{10\choose 6}{1+10-1\choose 10-1}}\)
pozostałe przekroje są równe 0.

[ Dodano: 28 Października 2007, 15:42 ]
Miało byc oczywiście
\(\displaystyle{ |B|=|A_1\cup \ldots \cup A_{10}|}\)

[kingataranek]

dziekuje bardzo

[iks2011]

Mam lekko zmienioną treść tego zadania:
Na ile sposobów można podzielić 25 jednakowych cukierków pomiędzy 10 dzieci tak, aby także dostało przynajmniej:
a) jeden cukierek
b) dwa cukierki

Jak zmienić rozumowanie z poprzedniej wersji zadania ?

[likoms]

Dla jednego cukierka masz \(\displaystyle{ {14 \choose 9}}\) bo jak narysujesz sobie \(\displaystyle{ 10}\) szufladek to w każdej musi być jeden cukierek. Więc jak od \(\displaystyle{ 25}\) odejmiesz \(\displaystyle{ 10}\) to zostaje ci \(\displaystyle{ 15}\). Ale w tym wzorku na szufladki masz \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\) więc tyle będzie rozmieszczeń. Natomiast dla co najmniej dwóch sprawa jest trochę inna według mnie bo rozdałeś \(\displaystyle{ 20}\) cukierków i teraz zostało ci \(\displaystyle{ 5}\). Więc na ile sposobów możesz te \(\displaystyle{ 5}\) przydzielić \(\displaystyle{ 10}\) dzieciom i wydaje mi się że odpowiedź będzie

\(\displaystyle{ {19 \choose 9} \cdot 5!}\) ale gdyby ktoś mógł sprawdzić byłbym wdzięczny.