kombinacje czy wariacje, raz na zawsze rozwiążmy ten probl
: 26 paź 2007, o 21:40
Jak wiadomo wariacje stosujemy wówczas gdy kolejność jest istotna (w przeciwieństwie do kombinacji). Jednak spotkałem się z zadaniami, które tego nie potwierdzają, np.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienna, określić prawdopodobieństwo zdarzeń, że:
a) suma wyrzuconych oczek jest parzysta
b) suma wyrzuconych oczek jest nieparzysta
c) suma wyrzuconych oczek jest podzielona przez 3
Rozwiązanie ze studiów:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = W^{2}_{6} = 36 \\
a) \ |A| = 18 \ P(A) = \frac{1}{2} \\
b) \ |B| = 18 \ P(B) = \frac{1}{2} \\
b) \ |C| = 12 \ P(C) = \frac{1}{3} \\}\)
a wg. mnie będą to:
a) kombinacje (z powtórzeniami?) - kolejność w dodawaniu nie ma znaczenia - np. jeżeli wylosujemy 2 i 4 to po dodaniu będzie to liczba parzysta - 2+4=6, ale również 4+2=6
b) kombinacje (z powtórzeniami?) - sytuacja analogiczna jak w punkcie a
c) kombinacje (z powtórzeniami?) - - sytuacja analogiczna jak w poprzednich punktach
I jeszcze drugie bardzo podobne zadanie:
Rozwiązanie ze szkoły średniej:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = C^{2}_{5} = 10 \\
a) \ |A| = (24,28) = 2 \ P(A) = \frac{1}{5} \\
b) \ |B| = (57) = 1 \ P(B) = \frac{1}{10} \\}\)
Tutaj jest chyba dobrze, ale nie jestem pewien czy nie powinno być z powtórzeniami.
Teraz mam kilka zasadniczych pytań:
1. Czy o tym, czego mamy używać - kombinacji czy wariacji decyduje jedynie to czy ważna jest kolejność.
2. Czy można w niektórych przypadkach powiedzieć czego mamy używać - komb. czy wariac. biorąc pod uwagę tylko to z czego losujemy. Podam trzy przykłady
a) jeżeli mówimy o wyborze kilku osób do delegacji - zawsze będą to komb. bez powtórzeń (bo nie obchodzi nas kolejność tylko konkretne osoby, które są unikalne, więc komb bez powt.)
b) czy jeżeli mogą zdarzyć się powtórzenia - np. rzucamy kostką, albo wybieramy ze zbioru liczb, to ten fakt z góry przesądza to że musimy używać wariacji z powtórzeniami, nie zwracając uwagi na kolejność? Ale przecież są jeszcze kombinacje z powtórzeniami.
c) losowanie kul, kart - kombinacje bez powtórzeń bo te kule są jakby identyczne - interesują nas np. kule w kolorze zielonym - więc nie ma tu żadnej mowy o kolejności - jasne że tą są fizycznie różne kule - ale wszystkie mają ten sam kolor - wiec czy je poprzestawiamy na różne miejsca wynik będzie ten sam
Moim zdaniem odpowiedź na 3 punkt będzie negatywna, bo co jeśli byśmy przy losowaniu kart określili, że as ma być na 3 miejscu - kolejność miała by tu chyba znaczenie, bo możemy wylosować ten sam zestaw kart, ale z asem np. na 4 pozycji.
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienna, określić prawdopodobieństwo zdarzeń, że:
a) suma wyrzuconych oczek jest parzysta
b) suma wyrzuconych oczek jest nieparzysta
c) suma wyrzuconych oczek jest podzielona przez 3
Rozwiązanie ze studiów:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = W^{2}_{6} = 36 \\
a) \ |A| = 18 \ P(A) = \frac{1}{2} \\
b) \ |B| = 18 \ P(B) = \frac{1}{2} \\
b) \ |C| = 12 \ P(C) = \frac{1}{3} \\}\)
a wg. mnie będą to:
a) kombinacje (z powtórzeniami?) - kolejność w dodawaniu nie ma znaczenia - np. jeżeli wylosujemy 2 i 4 to po dodaniu będzie to liczba parzysta - 2+4=6, ale również 4+2=6
b) kombinacje (z powtórzeniami?) - sytuacja analogiczna jak w punkcie a
c) kombinacje (z powtórzeniami?) - - sytuacja analogiczna jak w poprzednich punktach
I jeszcze drugie bardzo podobne zadanie:
Rozwiązanie ze szkoły średniej:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = C^{2}_{5} = 10 \\
a) \ |A| = (24,28) = 2 \ P(A) = \frac{1}{5} \\
b) \ |B| = (57) = 1 \ P(B) = \frac{1}{10} \\}\)
Tutaj jest chyba dobrze, ale nie jestem pewien czy nie powinno być z powtórzeniami.
Teraz mam kilka zasadniczych pytań:
1. Czy o tym, czego mamy używać - kombinacji czy wariacji decyduje jedynie to czy ważna jest kolejność.
2. Czy można w niektórych przypadkach powiedzieć czego mamy używać - komb. czy wariac. biorąc pod uwagę tylko to z czego losujemy. Podam trzy przykłady
a) jeżeli mówimy o wyborze kilku osób do delegacji - zawsze będą to komb. bez powtórzeń (bo nie obchodzi nas kolejność tylko konkretne osoby, które są unikalne, więc komb bez powt.)
b) czy jeżeli mogą zdarzyć się powtórzenia - np. rzucamy kostką, albo wybieramy ze zbioru liczb, to ten fakt z góry przesądza to że musimy używać wariacji z powtórzeniami, nie zwracając uwagi na kolejność? Ale przecież są jeszcze kombinacje z powtórzeniami.
c) losowanie kul, kart - kombinacje bez powtórzeń bo te kule są jakby identyczne - interesują nas np. kule w kolorze zielonym - więc nie ma tu żadnej mowy o kolejności - jasne że tą są fizycznie różne kule - ale wszystkie mają ten sam kolor - wiec czy je poprzestawiamy na różne miejsca wynik będzie ten sam
Moim zdaniem odpowiedź na 3 punkt będzie negatywna, bo co jeśli byśmy przy losowaniu kart określili, że as ma być na 3 miejscu - kolejność miała by tu chyba znaczenie, bo możemy wylosować ten sam zestaw kart, ale z asem np. na 4 pozycji.