Matematyka.pl

Zadanie 1

Ile dodatnich dzielników mają liczby: 432, 150, 10!

Zadanie 2

Ala ma 5 par butów. Wkładając buty kieruje się dwiema zasadami:

a) nigdy nie wkłada lewego buta na lewą nogę, ani prawego na prawą.
b) nigdy nie wkłada butów z tej samej pary.

Na ile sposobów może włożyć buty na obie nogi

Daną liczbę naturalną można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_n^{a_n}}\)
Wzór na liczbę dzielników
\(\displaystyle{ d(n) = (a_1+1)(a_2+1) \ldots (a_n+1)}\)

\(\displaystyle{ 432=2^4\cdot 3^3}\)
\(\displaystyle{ d(432)=(4+1)(3+1)}\)
\(\displaystyle{ d(432)=20}\)

\(\displaystyle{ 150=2\cdot 3 5^2}\)
\(\displaystyle{ d(150)=(1+1)(1+1)(2+1)}\)
\(\displaystyle{ d(150)=12}\)

\(\displaystyle{ 10!=1 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10=2 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 7\cdot 2^3\cdot 3^2\cdot 2\cdot 5=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7}\)
\(\displaystyle{ d(10!)=(8+1)(4+1)(2+1)(1+1)}\)
\(\displaystyle{ d(10!)=270}\)