Znajdź wzór rekurencyjny i go uzasadnij.

[yaritoko]

Zacząłem powtarzać sobie zadania z Matematyki Dyskretnej i natknąłem się na taki problem.
Treść zadania brzmi:
''Rzucamy \(\displaystyle{ n}\)-krotnie monetą i wynik zapisujemy jako ciąg n symboli O lub R. Serią orłów nazywamy wypadnięcie trzech orłów pod rząd. Niech \(\displaystyle{ a_{n} }\) oznacza liczbę wyników \(\displaystyle{ n}\)-krotnego rzutu, które nie zawierają serii orłów. Znajdź i uzasadnij wzór rekurencyjny dla ciągu \(\displaystyle{ {(a_{n})}_{n=0}^{ \infty }
}\) "
Wydaje mi się, że dobrze rozwiązałem to zadanie, otrzymując:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_n=1 &\text{dla }n=0 \\ a_n=2 &\text{dla } n=1\\ a_n=4 &\text{dla } n=2\\ a_{n}= a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} &\text{dla } n>3
\end{cases} }\)

Mam jednak problem, w jaki sposób udowodnić taki wzór? Prosiłbym o pomoc.

[3a174ad9764fefcb]

Są trzy możliwości zakończenia ciągu \(n\)-elementowego: \(R\), \(RO\), \(ROO\). Jaka jest liczba ciągów w każdej z tych grup?

[yaritoko]

Tylko trzy? A co jeżeli mamy ciąg który składa się tylko z samych orłów? Co wtedy?

[3a174ad9764fefcb]

Chodziło mi o ciągi dłuższe niż dwa rzuty, bo dla takich układamy wzór rekurencyjny. Jeśli jest dłuższy niż dwa i składa się z samych orłów, to nie spełnia warunków zadania, więc go nie liczymy.