Funkcja tworząca
: 26 cze 2022, o 00:35
Wyznacz funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ a_n=n^2-n+1}\).
\(\displaystyle{ a_{n} = n^2- n+1. }\)
Korzystamy z sumy szeregu geometrycznego:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}, \ \ |x|<1. }\)
i definicji funkcji tworzącej (generującej):
\(\displaystyle{ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}( 1-n +n^2)\cdot x_{n} = f(x) -x\cdot f'(x) + x\cdot[ x\cdot f'(x)]^{'}.}\)
\(\displaystyle{ G(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3} = \ \ ... }\)
