Funkcja tworząca

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
xkatekx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 22 kwie 2022, o 16:34
Płeć: Kobieta
wiek: 20
Podziękował: 12 razy

Funkcja tworząca

Post autor: xkatekx » 26 cze 2022, o 00:35

Wyznacz funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ a_n=n^2-n+1}\).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7249
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 1557 razy

Re: Funkcja tworząca

Post autor: janusz47 » 26 cze 2022, o 10:15

\(\displaystyle{ a_{n} = n^2- n+1. }\)

Korzystamy z sumy szeregu geometrycznego:

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x}, \ \ |x|<1. }\)

i definicji funkcji tworzącej (generującej):

\(\displaystyle{ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\cdot x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}( 1-n +n^2)\cdot x_{n} = f(x) -x\cdot f'(x) + x\cdot[ x\cdot f'(x)]^{'}.}\)

\(\displaystyle{ G(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{2x}{(1-x)^3} = \ \ ... }\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20408
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3458 razy

Re: Funkcja tworząca

Post autor: a4karo » 26 cze 2022, o 11:42

Prawie dobrze :)

ODPOWIEDZ