Wykorzystanie funkcji tworzących
: 25 cze 2022, o 13:30
Zadanie
Stosując metodę funkcji tworzących, wyznacz wzór zwarty dla \(\displaystyle{ a_n}\), jeśli \(\displaystyle{ a_0=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=3a_{n-1}+2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Wyznacz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ s_n= \sum_{k=0}^{n} a_k}\) oraz oblicz \(\displaystyle{ s_n}\).
Spróbowałam wyznaczyć najpierw funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ a_n}\), wyszła mi ona równa \(\displaystyle{ A(x)= \frac{-1}{1-x}+ \frac{2}{1-3x} =- \sum_{n=0}^{ \infty } x^n +2 \sum_{n=0}^{ \infty } 3^nx^n}\)
Następnie \(\displaystyle{ S(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{2}{(1-3x)(1-x)}=-\frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{3}{1-3x}- \frac{1}{1-x}=- \sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)x^n +3\sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n -\sum_{n=0}^{ \infty }x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -(n+1)+3 \cdot 3^n-1\right) x^n }\) i co dalej?
Stosując metodę funkcji tworzących, wyznacz wzór zwarty dla \(\displaystyle{ a_n}\), jeśli \(\displaystyle{ a_0=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=3a_{n-1}+2}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Wyznacz funkcję tworzącą ciągu \(\displaystyle{ s_n= \sum_{k=0}^{n} a_k}\) oraz oblicz \(\displaystyle{ s_n}\).
Spróbowałam wyznaczyć najpierw funkcję tworzącą dla \(\displaystyle{ a_n}\), wyszła mi ona równa \(\displaystyle{ A(x)= \frac{-1}{1-x}+ \frac{2}{1-3x} =- \sum_{n=0}^{ \infty } x^n +2 \sum_{n=0}^{ \infty } 3^nx^n}\)
Następnie \(\displaystyle{ S(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{2}{(1-3x)(1-x)}=-\frac{1}{(1-x)^2}+ \frac{3}{1-3x}- \frac{1}{1-x}=- \sum_{n=0}^{ \infty } (n+1)x^n +3\sum_{n=0}^{ \infty }3^nx^n -\sum_{n=0}^{ \infty }x^n= \sum_{n=0}^{ \infty }\left( -(n+1)+3 \cdot 3^n-1\right) x^n }\) i co dalej?