Silnia - Jak rozwiązać?

[Szoszof]

\(\displaystyle{ {-2 \choose n} }\) - jak rozwiązać tego szatana? Z góry dzięuję za pomoc

[Janusz Tracz]

Można rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ 1/(1+x)^2 }\) w szereg. Jest dość znana równość

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{ \infty } (-1)^n(n+1) x^n }\)

więc \(\displaystyle{ {-2 \choose n}=(-1)^n(n+1). }\)

Można też mechanicznie dopisywać kolejne czerwone wyrazy idąc do góry

\(\displaystyle{ {\displaystyle {\begin{array}{c}{ { \red {\binom {0}{-1}} } \quad \binom {0}{0}} \quad { \red {\binom {0}{1}} } \\{\binom {1}{0}}\quad {\binom {1}{1}}\\{\binom {2}{0}}\quad {\binom {2}{1}}\quad {\binom {2}{2}}\\{\binom {3}{0}}\quad {\binom {3}{1}}\quad {\binom {3}{2}}\quad {\binom {3}{3}}\\{\binom {4}{0}}\quad {\binom {4}{1}}\quad {\binom {4}{2}}\quad {\binom {4}{3}}\quad {\binom {4}{4}}\\{\binom {5}{0}}\quad {\binom {5}{1}}\quad {\binom {5}{2}}\quad {\binom {5}{3}}\quad {\binom {5}{4}}\quad {\binom {5}{5}}\end{array}}}}\)

PS niestety więcej nie dopiszę bo latex mnie pokonał. Ale reguła jest taka jak w trójkącie Pascal tylko idziesz w górę jeszcze dwa wiersze i w prawo.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ {-2 \choose n} }\) - jak rozwiązać tego szatana?

A skąd go wziąłeś?

JK

[Szoszof]

Ćwiczenia z Analizy Matematycznej z Zastosowaniami Tom I pod redakcją Lucjana Siewierskiego wydanie z 1982 r.

[Dasio11]

Z definicji

\(\displaystyle{ \binom{-2}{n} = \frac{(-2) \cdot (-3) \cdot \ldots \cdot (-n-1)}{n!} = (-1)^n \cdot \frac{(n+1)!}{n!} = (-1)^n \cdot (n+1)}\)

[janusz47]

Z definicji symbolu Newtona:

\(\displaystyle{ {-2\choose n} = \frac{-2\cdot (-2-1)\cdot (-2- 2)\cdot (-2-3)\cdot ...\cdot (-2 - n+2)\cdot(-2 -n+1)}{n!} =\frac{(-1)^{n}\cdot [2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n \cdot (n+1)]}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot ...\cdot n} = (-1)^{n} \cdot (n+1).}\)