Rekurencja metodą podstawiania

[SzymonK]

Mam problem z rozwiązaniem takich rekurencji. Wytłumaczy ktoś jak stosować metodę podstawiania na przykładzie tych zadań ?

Stosując metodę podstawiania, rozwiązać rekurencje:

\(\displaystyle{ a_n = 4\cdot a _{n-1} +3 }\) dla \(\displaystyle{ n>0}\), przy \(\displaystyle{ a_0=3 }\)

\(\displaystyle{ b_n = 3- \frac{1}{2}\cdot b _{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\) , przy \(\displaystyle{ b_0= 3 }\)

[a4karo]

w 1) znajdż takie `x`, żeby rekurencja dla ciągu `e_n=a_n+x` była jak najprostsza

[janusz47]

1.
\(\displaystyle{ a_{n} = 4a_{n-1} +3 , \ \ n >0, \ \ a_{0} = 3. }\)

Metoda podstawiania:

\(\displaystyle{ a_{1} = 4a_{0}+3 = 4^1 \cdot 3 + 3 }\)

\(\displaystyle{ a_{2} = 4a_{1} + 3 = 4(4\cdot 3+3) +3 = 4^2\cdot 3 +4^1\cdot 3 + 3 }\)

\(\displaystyle{ a_{3} = 4a_{2} + 3 = 4(4^2\cdot 3 +4^1\cdot 3 + 3) + 3 = 4^3\cdot 3 + 4^2\cdot 3 + 4^{1}\cdot 3 + 3 }\)

.............................................................................................

\(\displaystyle{ a_{n} = 4^{n}\cdot 3 + 4^{n-1}\cdot 3 + 4^{n-2}\cdot 3 + \ \ ... \ \ + 4^{2}\cdot 3 + 4^{1}\cdot 3 + 3 }\)

\(\displaystyle{ a_{n} = 3(1 + 4 + 4^2 + \ \ ... \ \ + 4^{n-2}+ 4^{n-1} + 4^{n}) }\)

W nawiasie suma \(\displaystyle{ (n+1) }\) wyrazów ciągu geometrycznego.

\(\displaystyle{ a_{n} = 3\frac{4^{n+1} -1}{4 -1} = 4^{n+1} -1 }\)

2.
Podobnie.