Uprośc sumę

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kt26420
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 99
Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 40 razy

Uprośc sumę

Post autor: kt26420 »

Niech \(\displaystyle{ p_{n,k}}\) oznacza liczbę \(\displaystyle{ n}\)-permutacji mających dokładnie \(\displaystyle{ k}\) punktów stałych i niech \(\displaystyle{ r}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Uprość sumę:

\(\displaystyle{ \sum_{k} {k \choose r} p_{n,k}.}\)

Jak za takie coś się zabrać?
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2022, o 02:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: janusz47 »

Suma

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)

zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.

Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.

Stąd liczba sposobów:

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 20 kwie 2022, o 08:29 Suma

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)

zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.
Ta suma nie zależy od `r`, więc chyba coś jest nie tak
Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.
Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe
2) czy zastanowiłeś się ile jest permutacji, które maja dokładnie `n-1` punktów stałych?
Stąd liczba sposobów:

\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)
A jak to się ma do zadania?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: arek1357 »

do oznaczenia pozostałe permutujemy na (n−r)! sposobów.
Jeśli już to tam powinno być:

\(\displaystyle{ (n-r-1)!}\) - sposobów

Bo cyklI o długości \(\displaystyle{ n-r}\) jest \(\displaystyle{ (n-r-1)!}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: a4karo »

arek1357 pisze: 20 kwie 2022, o 10:56
do oznaczenia pozostałe permutujemy na (n−r)! sposobów.
Jeśli już to tam powinno być:

\(\displaystyle{ (n-r-1)!}\) - sposobów

Bo cyklI o długości \(\displaystyle{ n-r}\) jest \(\displaystyle{ (n-r-1)!}\)
Też nie, w końcu może to byc iloczyn cykli.
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: kerajs »

a4karo pisze: 20 kwie 2022, o 09:26 Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe
Może to kwestia źle postawionego wykrzyknika, i miało być `!(n-k)` ?
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: arek1357 »

Oczywiście trzeba zastosować wzór na nieporządki tamte obliczenia po prostu mnie zmyliły...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: a4karo »

kerajs pisze: 20 kwie 2022, o 12:12
a4karo pisze: 20 kwie 2022, o 09:26 Oczywiście, że tak nie jest:
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe
Może to kwestia źle postawionego wykrzyknika, i miało być `!(n-k)` ?
Spójrz na wzór `|S|=...` i będziesz wiedział, że nie :)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Uprośc sumę

Post autor: kerajs »

;)
ODPOWIEDZ