Uprośc sumę
-
- Użytkownik
- Posty: 99
- Rejestracja: 21 sty 2021, o 16:29
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 40 razy
Uprośc sumę
Niech \(\displaystyle{ p_{n,k}}\) oznacza liczbę \(\displaystyle{ n}\)-permutacji mających dokładnie \(\displaystyle{ k}\) punktów stałych i niech \(\displaystyle{ r}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Uprość sumę:
\(\displaystyle{ \sum_{k} {k \choose r} p_{n,k}.}\)
Jak za takie coś się zabrać?
\(\displaystyle{ \sum_{k} {k \choose r} p_{n,k}.}\)
Jak za takie coś się zabrać?
Ostatnio zmieniony 20 kwie 2022, o 02:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7910
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1670 razy
Re: Uprośc sumę
Suma
\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)
zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.
Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.
Stąd liczba sposobów:
\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)
\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} }\)
zlicza ilość sposobów oznaczenia \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ r - }\) elementowej metodą sumowania \(\displaystyle{ k }\) punktów stałych.
Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.
Stąd liczba sposobów:
\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: Uprośc sumę
Ta suma nie zależy od `r`, więc chyba coś jest nie tak
Oczywiście, że tak nie jest:Mamy \(\displaystyle{ {n\choose r} }\) sposobów wyboru \(\displaystyle{ r }\) punktów stałych w permutacji \(\displaystyle{ n - }\) elementowej do oznaczenia pozostałe permutujemy na \(\displaystyle{ (n-r)! }\) sposobów.
1) wśród tych `(n-r)!` sposobów jest wiele takich, które maja dodatkowe punkty stałe
2) czy zastanowiłeś się ile jest permutacji, które maja dokładnie `n-1` punktów stałych?
A jak to się ma do zadania?Stąd liczba sposobów:
\(\displaystyle{ |S|= \sum_{k} p_{n,k} = {n\choose r}\cdot (n-r)! = \frac{n!}{r!}. }\)
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5703
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 129 razy
- Pomógł: 524 razy
Re: Uprośc sumę
Jeśli już to tam powinno być:do oznaczenia pozostałe permutujemy na (n−r)! sposobów.
\(\displaystyle{ (n-r-1)!}\) - sposobów
Bo cyklI o długości \(\displaystyle{ n-r}\) jest \(\displaystyle{ (n-r-1)!}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy