ciąg złożony z cyfr 0,1,2,3,4 naprzemienny

[kt26420]

Powiemy, że ciąg złożony z cyfr 0,1,2,3,4 jest naprzemienny, jeśli bezpośrednio po wystąpieniu cyfry dodatniej nie występuje w nim cyfra dodatnia tej samej parzystości, a bezpośrednio po wystąpieniu 0 nie występuje 0. Niech an oznacza liczbę naprzemiennych ciągów długości n. Znajdź:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} }\).

Będę wdzieczna jak ktoś pokaże jak takie coś rozwiązywać.
Mam pomysł, ale wydaję mi się złym.

Chciałam robić tak :
Niech a_n to wszystkie takie dobre ciągi (w sensie zbudowane za regulą, opisaną w zadaniu).
Wtedy patrzę na \(\displaystyle{ a_{n+1} }\) : jeśli na n-tej pozycji było o, to na n+1- szej może być 1, 2, 3, 4 , jeśli występuje (1 / 2 / 3/ 4) to na (n+1) może stać jedna z dwóch pozostałych (nie ta sama liczba, co na n - tej pozycji, i liczba nie tej samej parzystości). Czyli równanie rekurencyje : \(\displaystyle{ a_{n+1} = 4 a_{n} + 2 a_{n} }\)
(nie wiem, czy 0 jest uważane za dodatnie, bo ja zakładałam, że nie).
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = 6 }\)

[kerajs]

Zero nie jest dodatnie (nie jest także ujemne)
Treść zadania rozumiem tak:
po cyfrze \(\displaystyle{ 0}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 1}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 2}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 3}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 4}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3 }\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+4a_{n-1}}\)

[kt26420]

Zero nie jest dodatnie (nie jest także ujemne)
Treść zadania rozumiem tak:
po cyfrze \(\displaystyle{ 0}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 1}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 2}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 3}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 2}\) lub \(\displaystyle{ 4 }\)
po cyfrze \(\displaystyle{ 4}\) może wystąpić \(\displaystyle{ 0, \ 1}\) lub \(\displaystyle{ 3 }\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_n+4a_{n-1}}\)

A jak wyszło takie równanie?

[a4karo]

Niech `z_n` oznacza ilość ciagów długości `n`, które kończą się zerem, a `s_n` to ilość tych, które kończą się inną cyfrą.
wtedy
`z_{n+1}=s_n` oraz `s_{n+1}=4z_n+2s_n=2s_n+4s_{n-1}`

[kerajs]

Przy wskazanych ciągach pozostaje pokazać że:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=z_{n+1}+s_{n+1}=...=2a_n+4a_{n-1}}\)
oraz że szukaną granicą jest: \(\displaystyle{ 1+\sqrt5}\)