Permutacja do potęgi | Potęgowanie permutacji

[SpizganyTomek]

Cześć, na różnych forach widziałem pozakładane tematy odnośnie potęgowania permutacji ale dalej
totalnie nie czaje o co chodzi. Byłbym wdzięczny jeśli ktoś wytłumaczyłby mi ten jeden prosty
przykład.

\(\displaystyle{ (1,3,5,6,4) ^{3} = (1,6,3,4,5) }\)

Jest to zapisane w postaci cyklowej. Mam również wynik, co też zapisałem wyżej ale próbowałem
zrobić to na wiele sposób i za każdym razem mój wynik się nie zgadza.

[Dasio11]

Jak każda permutacja, cykl \(\displaystyle{ (1, 3, 5, 6, 4)}\) jest w szczególności funkcją. Konkretnie: funkcją \(\displaystyle{ f : \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \to \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}}\) taką że

\(\displaystyle{ f(1) = 3 \\
f(3) = 5 \\
f(5) = 6 \\
f(6) = 4 \\
f(4) = 1}\)

co można przedstawić graficznie jako \(\displaystyle{ 1 \xrightarrow{ f } 3 \xrightarrow{ f } 5 \xrightarrow{ f } 6 \xrightarrow{ f } 4 \xrightarrow{ f } 1}\). Potęgowanie cyklu polega na wielokrotnym składaniu tej funkcji, w tym wypadku trzykrotnym. A więc kolejno:

\(\displaystyle{ f^3(1) = f(f(f(1))) = f(f(3)) = f(5) = 6 \\
f^3(3) = f(f(f(3))) = f(f(5)) = f(6) = 4 \\
\vdots}\)

i tak dalej. Po wyliczeniu wszystkich wartości można znów zapisać funkcję graficznie:

\(\displaystyle{ 1 \xrightarrow{ f^3 } 6 \xrightarrow{ f^3 } 3 \xrightarrow{ f^3 } 4 \xrightarrow{ f^3 } 5 \xrightarrow{ f^3 } 1}\)

co oznacza, że \(\displaystyle{ f^3}\) jest cyklem \(\displaystyle{ (1, 6, 3, 4, 5)}\).

[SpizganyTomek]

Już wszystko rozumiem, bardzo dziękuję!