Równania rekurencyjne niejednorodne - trudność w dopasowaniu

[radeker]

Cześć,

na wstępie chciałbym wyrazić szczery podziw za zaangażowanie w forum. Dobrze wspominam takie miejsca jak to - sam kiedyś często byłem forumowiczem, teraz właściwie udzielam się na jednej platformie, która nie jest fejsem (tematyka IT). Cieszę się, że takie miejsca nadal istnieją w sieci. Ale to nie jest problem - przejdę do opisania go.

Mam następującą rekurencję:
\(\displaystyle{ s_{n+1}=8s_N-16s_{n+1}-48\cdot 4^n}\)

Jako rezultat zadania muszę podać RORJ (rozwiązanie ogólne rekurencji jednorodnej), RORN (rozwiązanie ogólne rekurencji niejednorodnej), RSRN (rozwiązanie szczegółowe rekurencji niejednorodnej) oraz . Jako wstęp tworzę równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^2+8x+16=0}\)
Wyznaczam z niego deltę - wychodzi jeden pierwiastek, zatem RORJ ma postać \(\displaystyle{ (c_{1}\cdot n+c_{2})\cdot 4^{n}}\). Nie jest to trudne.

Jeżeli jednak przechodzę do równania ogólnego, to mam problem. Jako że f(n) jest f. wykładniczą, i zgadza się ona z pierwiastkiem (występujący dwa razy, bo \(\displaystyle{ \Delta=0}\)), to dobieram taką (na podstawie Równania rekurencyjne-metoda przewidywań) funkcją
\(\displaystyle{ a_n^s = n^kA\beta^n}\)

Zatem mam \(\displaystyle{ a_n = n^2 A \cdot 4^n}\)

Teraz należy przybliżyć wzór - ale jak? na podstawie czego? I co ja teraz podstawiam pod \(\displaystyle{ A}\)? elementy równania charakterystycznego, kolejne elementy rekurencji? Na podstawie slajdów wiem, że to należy skrócić - ale jak? Przecież tu robi się taka plątanina, że nie jestem w stanie zredukować czegokolwiek. Widziałem w sieci przykłady gdzie zamiast \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ n, n-1, n-2...}\) ale nadal tego nie ogarniam. Nie wspominając o rozwiązaniu szczegółowym.

Będę wdzięczny za pomoc. Przy okazji - wszystkiego najlepszego z okazji nachodzącego roku

Dodano po 1 minucie 58 sekundach:
Podczas nauki korzystałem z tych linków:
* https://home.agh.edu.pl/~maforys/wmd/metoda_przew.pdf
* https://fizyka.umk.pl/~gniewko/didaktiki/MD2013-2014/wyk%C5%82ad1.pdf
* https://www.youtube.com/watch?v=9mqWK5JoZLM
* Równania rekurencyjne-metoda przewidywań

i wykładów z uczelni, ale nie udało mi się ich znaleźć w sieci więc nie udostępniam (dostęp wyłącznie dla studentów).

[Premislav]

Rozumiem, że równanie rekurencyjne ma taką oto postać:
\(\displaystyle{ s_{n+1}=8s_n-16s_{n-1}-48\cdot 4^n}\).
Masz już rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, natomiast jeśli chodzi o rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego, to podstawiasz w równaniu niejednorodnym
\(\displaystyle{ s_n:=An^2 4^n}\). Otrzymujesz w ten sposób
\(\displaystyle{ A(n+1)^24^{n+1}=8An^24^n-16(n-1)^2 A4^{n-1}-48\cdot 4^n}\)
a dalej
\(\displaystyle{ A(n+1)^2=2An^2-(n-1)^2A-12}\),
tj.
\(\displaystyle{ A= -6}\). No super, masz rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ -6n^2\cdot 4^n}\).

[Mariusz M]

Jeżeli nie lubimy zgadywać a nie możemy użyć funkcji tworzącej bądź przekształcenia Z
to proponuję metodę analogiczną do tej wykorzystywanej w równaniach różniczkowych

\(\displaystyle{ s_{n+2}=8a_{n+1}-16s_{n}-196 \cdot 4^{n}}\)

Równanie jednorodne rozwiązujemy zapisując je w postaci układu równań i rozwiązujemy go
licząc potęgę macierzy \(\displaystyle{ s_{n}=A^{n}s_{0}}\)

Potęgę macierzy możemy obliczyć wykorzystując rozkład macierzy taki jak diagonalizacja bądź rozkład Jordana

Mając rozwiązanie równania jednorodnego , rozwiązanie szczególne możemy znaleźć uzmienniając stałe
(Podobnie jak w przypadku równań różniczkowych tyle że tutaj zamiast Wrońskianu mamy Casoratian a zamiast całkować sumujemy)
Podczas uzmienniania stałych może się przydać np sumowanie przez części

[radeker]

Przepraszam za tak późną odpowiedź - sylwester, nowy rok zrobiły swoje. Dziękuję Wam za pomoc. Skorzystałem z porady uzytkownika premislav.