Zasada szufladkowa w dwóch odsłonach

[pasjonat_matematyki]

Dzień dobry

Czy moglibyście mi podpowiedzieć co nieco w tych dwóch zadankach? Będę wdzięczny za wszelkie wskazówki.

1. Wykazać, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n + 1}\) liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 2n}\) są dwie, iloraz których jest potęgą liczby \(\displaystyle{ 2}\).

2. Wykazać, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n + 1}\) liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 2n}\) są trzy, z których jedna jest sumą dwóch pozostałych.

[arek1357]

wsk.:

\(\displaystyle{ x_{i}=2^{a_{i}}r_{i}, a_{i} \ge 0, r_{i}}\) - nieparzyste

i=1,2,3,...,n+1

Dodano po 15 minutach 32 sekundach:
A w drugim bierz wszystkie różnice między liczbami z tego zbiory (Większa odjąć mniejsza), jest ich minimum \(\displaystyle{ n}\) różnych, i jaki z tego wniosek...?

[pasjonat_matematyki]

Zad 1 zrobiłem, dzięki.
Co do drugiego, to mam wrażenie, że potrzebna będzie równość \(\displaystyle{ a - b + b - c = a - c}\), ale nic więcej mi nie przychodzi do głowy.

[arek1357]

Jeżeli jest n różnych różnic to jedna różnica musi być równa jakiejś liczbie ze zbioru np.: k, czyli:

\(\displaystyle{ a-b=k}\)

Znaczy:

\(\displaystyle{ a=b+k}\)

cnd...

[pasjonat_matematyki]

Ok, a w którym momencie stosujesz zasadę szufladkową i jakie znaczenie ma fakt, każda z liczb \(\displaystyle{ < 2n}\) ?

[arek1357]

Ma znaczenie bo tych różnic byłoby więcej

Dodano po 1 minucie :
Zresztą sprawdź to sobie na małych n

[pasjonat_matematyki]

Wyszło:) Po prostu nie da się umieścić wszystkich tych różnic poza zbiorem. Bo \(\displaystyle{ 2n - 1 - (n + 1) = n - 2}\), a różnic jest \(\displaystyle{ n}\). Dzięki.