Znajdź wzór na nieskończony ciąg tego typu:
\(\displaystyle{ 1,2,4,8,...}\)
Każda następna liczba nie może mieć równej odległości z odległościami istniejącymi w ciągu, ale musi być jak najmniejsza, może pokażę:
\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=2}\)
Jedyna odległość tutaj to: \(\displaystyle{ 1=2-1}\), więc następna odległość będzie \(\displaystyle{ 2, 2+2=4}\)
mamy więc:
1,2,4,...
jaka będzie następna liczba, teraz odległości takie są:
\(\displaystyle{ 1,2,3}\)
więc następna odległość będzie: \(\displaystyle{ 4, 4+4=8}\)
mamy więc już ciąg:
\(\displaystyle{ 1,2,4,8,...}\)
Sprawdzamy odległości:
\(\displaystyle{ 1,2,3,4,6,7}\)
Najmniejsza niewykorzystana odległość to: \(\displaystyle{ 5}\)
Następna liczba ciągu to będzie:
\(\displaystyle{ 8+5=13}\)
mamy teraz wyrazy:
\(\displaystyle{ 1,2,4,8,13}\)
Odległości są takie:
\(\displaystyle{ 1,2,3,4,6,7,12,11,9,5,}\)
Najmniejsza niewykorzystana to \(\displaystyle{ 8}\) i znowu będzie następny wyraz: \(\displaystyle{ 21}\)
I tak dalej, jak widać wszystkich odległości będzie:
\(\displaystyle{ {n \choose 2} }\)
Ale odległości muszą być jak najmniejsze...
Może komuś się uda poszukać wzór jawny lub rekurencyjny tego ciągu z którym się jeszcze nie spotkałem w książkach...
(a czytam bardzo ambitne książki np: "Kot w butach", "Przygody Kaczora Kwaka", itd,...)
Do ułożenia tego zadania sprowokował mnie właśnie ten temat:
iloczyn zbiorów
Dodam jeszcze, że jeżeli weźmiemy zbiór:
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,k\right\} }\)
Kolejnych liczb naturalnych od jeden, to możemy zliczać ile w nim mieści się wyrazów ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}}\)
który rozpisałem wyżej, a mianowicie \(\displaystyle{ a_{n} \le k}\), ale już: \(\displaystyle{ a_{n+1} > k}\)...
Wtedy można wysnuć wniosek, że dla Każdego zbioru A liczącego więcej niż \(\displaystyle{ n}\) elementów i zawartego w X,
\(\displaystyle{ A \subset X}\)
Zawsze znajdą się jakieś dwie odległości między elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\), które będą równe, mimo iż wszystkich odległości w zbiorze A
będzie mniej niż \(\displaystyle{ n-1}\).
(Można nazwać taki zbiór A zbiorem nasyconym)
Właśnie w tym jest dość fajnie ukryta zasada szufladkowa...(Mniej elementów niż szufladek a i tak będzie, że w jednej szufladce jest dwa elementy)...
Np liczebność nasycenia w zbiorze: \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,100\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ 11}\)
Bo już w jego podzbiorze \(\displaystyle{ 12 }\)- elementowym dwie odległości się na pewno pokryją...
Bo do stu elementy ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}}\) takie wyliczyłem:
\(\displaystyle{ 1,2,4,8,13,21,31,45,60,76,94}\)
Jest ich \(\displaystyle{ 11}\) i to jest właśnie liczba stanu nasycenia podzbiorów zbioru: \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,100\right\} }\)
A odległości będzie: \(\displaystyle{ {11 \choose 2}=55 }\) - stan nasycenia...
Ale też i zbiorów:
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,98\right\} }\), \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,102\right\} }\),... itd...