Pewien ciąg

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Pewien ciąg

Post autor: arek1357 »

Znajdź wzór na nieskończony ciąg tego typu:

\(\displaystyle{ 1,2,4,8,...}\)

Każda następna liczba nie może mieć równej odległości z odległościami istniejącymi w ciągu, ale musi być jak najmniejsza, może pokażę:

\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=2}\)

Jedyna odległość tutaj to: \(\displaystyle{ 1=2-1}\), więc następna odległość będzie \(\displaystyle{ 2, 2+2=4}\)

mamy więc:

1,2,4,...

jaka będzie następna liczba, teraz odległości takie są:

\(\displaystyle{ 1,2,3}\)

więc następna odległość będzie: \(\displaystyle{ 4, 4+4=8}\)

mamy więc już ciąg:

\(\displaystyle{ 1,2,4,8,...}\)

Sprawdzamy odległości:

\(\displaystyle{ 1,2,3,4,6,7}\)

Najmniejsza niewykorzystana odległość to: \(\displaystyle{ 5}\)

Następna liczba ciągu to będzie:

\(\displaystyle{ 8+5=13}\)

mamy teraz wyrazy:

\(\displaystyle{ 1,2,4,8,13}\)

Odległości są takie:

\(\displaystyle{ 1,2,3,4,6,7,12,11,9,5,}\)

Najmniejsza niewykorzystana to \(\displaystyle{ 8}\) i znowu będzie następny wyraz: \(\displaystyle{ 21}\)

I tak dalej, jak widać wszystkich odległości będzie:

\(\displaystyle{ {n \choose 2} }\)

Ale odległości muszą być jak najmniejsze...

Może komuś się uda poszukać wzór jawny lub rekurencyjny tego ciągu z którym się jeszcze nie spotkałem w książkach...
(a czytam bardzo ambitne książki np: "Kot w butach", "Przygody Kaczora Kwaka", itd,...)


Do ułożenia tego zadania sprowokował mnie właśnie ten temat:

iloczyn zbiorów



Dodam jeszcze, że jeżeli weźmiemy zbiór:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,k\right\} }\)

Kolejnych liczb naturalnych od jeden, to możemy zliczać ile w nim mieści się wyrazów ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}}\)

który rozpisałem wyżej, a mianowicie \(\displaystyle{ a_{n} \le k}\), ale już: \(\displaystyle{ a_{n+1} > k}\)...

Wtedy można wysnuć wniosek, że dla Każdego zbioru A liczącego więcej niż \(\displaystyle{ n}\) elementów i zawartego w X,

\(\displaystyle{ A \subset X}\)

Zawsze znajdą się jakieś dwie odległości między elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\), które będą równe, mimo iż wszystkich odległości w zbiorze A
będzie mniej niż \(\displaystyle{ n-1}\).

(Można nazwać taki zbiór A zbiorem nasyconym)

Właśnie w tym jest dość fajnie ukryta zasada szufladkowa...(Mniej elementów niż szufladek a i tak będzie, że w jednej szufladce jest dwa elementy)...

Np liczebność nasycenia w zbiorze: \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,100\right\} }\) będzie \(\displaystyle{ 11}\)

Bo już w jego podzbiorze \(\displaystyle{ 12 }\)- elementowym dwie odległości się na pewno pokryją...

Bo do stu elementy ciągu: \(\displaystyle{ a_{n}}\) takie wyliczyłem:

\(\displaystyle{ 1,2,4,8,13,21,31,45,60,76,94}\)

Jest ich \(\displaystyle{ 11}\) i to jest właśnie liczba stanu nasycenia podzbiorów zbioru: \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,100\right\} }\)

A odległości będzie: \(\displaystyle{ {11 \choose 2}=55 }\) - stan nasycenia...

Ale też i zbiorów:

\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,98\right\} }\), \(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,102\right\} }\),... itd...
ODPOWIEDZ