Kombinatoryka, możliwości - ołówki

[Szymon_25]

Cześć,
Zadanie: Mamy \(\displaystyle{ 5}\) niebieskich ołówków i \(\displaystyle{ 12}\) czerwonych. Na ile sposobów można je rozdać wśród \(\displaystyle{ 10}\) uczniów?
Uczniowie są rozróżnialni, a ołówki nie - poza kolorami.
Będę wdzięczny za pomoc i wyjaśnienie którego wzoru trzeba użyć (czy kombinacji, wariacji lub permutacji)

[Janusz Tracz]

Tak na oko to \(\displaystyle{ {10 \choose 0}+{10 \choose 1}+{10 \choose 2}+...+{10 \choose 5} }\). Bo możemy nie rozdać niebieskich ołówków wcale lub możemy dać \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) itd.

[kerajs]

Inaczej odbieram fragment:

Na ile sposobów można je rozdać

Moim zdaniem chodzi o pozbycie się wszystkich ołówków, a wtedy liczba rozdań to: \(\displaystyle{ {5+10-1 \choose 10-1} {12+10-1 \choose 10-1}}\) /kombinacje z powtórzeniami/

[Gouranga]

Jeżeli każdemu uczniowi chcesz dać tylko jeden ołówek to od 0 do 5 z nich może dostać niebieski, reszta czerwony
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {10 \choose k}{10 \choose 10-k}}\)

pierwszy symbol newtona wybiera ci k uczniów do niebieskiego, drugi resztę do czerwonego, suma rozważa ci przypadki od 0 do 5 niebieskich


w drugim przypadku jeśli chcesz pozbyć się wszystkich ołówków to najpierw znajdujesz wszystkie możliwe sposoby ułożenia ołówków w kolejności na

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}}\)

sposobów i do tych 17 ołówków dodajesz 9 separatorów (na 10 grup dla uczniów) co daje razem

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}{26 \choose 9}
}\)

tylko ten sposób zakłada, że uczeń może nie dostać ołówka
jeśli ma dostać każdy przynajmniej po jednym

\(\displaystyle{ {17 \choose 5}{16 \choose 9}
}\)
bo z każdego z układów pierwsze 10 rozdajesz uczniom po jednym, zostaje 7 + 9 separatorów na rozdanie reszty

[Janusz Tracz]

Jeżeli każdemu uczniowi chcesz dać tylko jeden ołówek to od 0 do 5 z nich może dostać niebieski, reszta czerwony
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{5} {10 \choose k}{10 \choose 10-k}}\)
pierwszy symbol newtona wybiera ci k uczniów do niebieskiego, drugi resztę do czerwonego, suma rozważa ci przypadki od 0 do 5 niebieskich

A czy nie można po prostu wybrać \(\displaystyle{ k}\) uczniów i dać im niebieski ołówek, reszta siłą rzeczy dostaje czerwony?

[Gouranga]

racja, tu mój błąd bo w drugim newtonie powinno być \(\displaystyle{ {10 - k \choose 10 - k}}\) bo przecież zostaje 10 - k uczniów i to zawsze będzie równe 1