Wyznaczanie funkcji tworzącej ciągu liczb

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
RobGilette
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 22 wrz 2021, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21

Wyznaczanie funkcji tworzącej ciągu liczb

Post autor: RobGilette »

Cześć wszystkim,

w ciągu przygotowań do egzaminu z matematyki dyskretnej natrafiłem na poniższe zadanie w zbiorze zadań udostępnionym przez wykładowcę.

WYZNACZ FUNKCJĘ TWORZĄCĄ NASTĘPUJĄCEGO CIĄGU:

1) 0; 0; 0; -1; 1; -1; 1; -1; 1...;
2) 1; 3; 4; 9; 8; 27; 16; 81...;
3) 1; 2; 4; 1; 3; 8; 1; 4; 16; 1; 5; 32...;
4) 2; 6; 12; 20; 30; 42; 56...;

Z tego czego się do tej pory nauczyłem,do wyznaczenia f. tworzącej potrzebny jest wzór ogólny ciągu i od tego momentu jest dla mnie wszystko jasne, nie wiem jednak jak wyznaczyć wzór ogólny dla wyżej wymienionych ciągów. Zastanawiałem się nad tym i jedynym rozwiązaniem jakie przyszło mi do głowy to rozbicie tych ciągów na mniejsze (np. z pierwszego ciągu możemy utworzyć ciąg (1; 1; 1...; ) oraz ciąg (-1; -1; -1...; ) itd.) następnie wyznaczenie ich f. tworzących.
Jeżeli to rozumowanie ma sens to potem wyliczone funkcje należy zsumować?

Będę mega wdzięczny jeśli będzie mi ktoś w stanie z tym pomóc :)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznaczanie funkcji tworzącej ciągu liczb

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ (a_n)_{n=0}^{\infty} = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3},...): }\)

\(\displaystyle{ A(z) = \sum_{n\geq 0} a_{n}z^{n}, \ \ |z|<1. }\)

1)
\(\displaystyle{ (0,0,0, -1,1,-1,1,-1, -1,1...): }\)

\(\displaystyle{ 0 \cdot z_{0} + 0\cdot z_{1}+0\cdot z_{2}-1\cdot z_{3}+1\cdot z_{4}-1\cdot z_{5}+1\cdot z_{6}-...= \sum_{n\geq 0}[n=3](-1)^{n}z^{n} = -\frac{z^3}{1+z}, \ \ |z|<1. }\)

4)
\(\displaystyle{ (2,6,12,20,30, 42, 56,...):}\)

\(\displaystyle{ 2\cdot z_{0} +6\cdot z_{1}+ 12\cdot z_{2}+20\cdot z_{3}+30\cdot z_{4}+42\cdot z_{5}+56\cdot z_{6}+...= \frac{2}{(1-z)^3}, \ \ |z|<1,}\)

\(\displaystyle{ (1 + z +z^2 +z^3+ z^4+ z^5 + z^6 +z^7+ z^8 +...)' = 0 +1 +2z + 3z^2 + 4z^3 + 5z^4 + 6z^5 + 7z^6 +8z^7+...= }\)
\(\displaystyle{ = \left[\frac{1}{1-z)}\right]'=\frac{1}{(1-z)^2}, \ \ |z|<1, }\)

\(\displaystyle{ (0 +1 +2z + 3z^2 + 4z^3 + 5z^4 + 6z^5 + 7z^6 +8z^7+..)' = 2 + 6z + 12z^2 +20z^3+30z^4 +42z^5 + 56z^6 +...= }\)
\(\displaystyle{ =\left[ \frac{1}{(1-z)^2}\right]' =\frac{2}{(1-z)^3}, \ \ |z|<1. }\)
ODPOWIEDZ