suma i^3

[marej]

Witam,
czy ktoś mógłby wyjaśnić w jaki sposób można wyliczyć:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i^3=\left( \frac{n(n+1)}{2}\right) ^2}\)

[Premislav]

Można zacząć od tego, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {i \choose 3}={n+1\choose 4} }\).
Najłatwiej to udowodnić przez interpretację kombinatoryczną. Jest \(\displaystyle{ n+1}\) stron w encyklopedii i chcemy wybrać dokładnie cztery do przeczytania. Jeśli ostatnia strona, którą wybierzemy, będzie stroną nr \(\displaystyle{ i+1}\), to muszą być wybrane też trzy spośród \(\displaystyle{ i}\) stron ją poprzedzających, co można uczynić na \(\displaystyle{ {i \choose 3} }\) sposobów.

W pełni analogicznie uzasadniamy, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n {i \choose 2}={n+1\choose 3}, \ \sum_{i=1}^n {i \choose 1}={n+1\choose 2} }\), po czym zapisujemy \(\displaystyle{ i^3}\) jako kombinację liniową \(\displaystyle{ {i \choose 3}, \ {i \choose 2}, \ {i \choose 1}, \ 1}\) i, co za tym idzie, \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n i^3}\) jako kombinację liniową powyższych sum i \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}1 }\).

Alternatywnie można użyć metody zaburzania sum: Zaburzanie sum.

[a4karo]

A można tak: niech \(\displaystyle{ a_k=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2}\). Wtedy
\(\displaystyle{ a_k-a_{k-1}=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{k(k-1)}{2}\right)^2=\frac{k(k+1)-k(k-1)}{2}\cdot\frac{k(k+1)+k(k-1)}{2}=k\cdot k^2=k^3}\)
I wystarczy dodać toto stronami dla `k=1,2,...,n`

Dodano po 1 godzinie 10 minutach 16 sekundach:
Można też zauważyć taką rzecz: rozważmy tablicę `n\times n`
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1&2&3&\cdots& \red{k}&\cdots& n\\
2&4&6&\cdots&\red{2k}&\cdots& 2n\\
3&6&9&\cdots & \red{3k}&\cdots& 3n\\
\vdots&&&&&\\
\red{k}&\red{2k}&\red{3k}&\cdots&\red{k^2}&\cdots& kn\\
\vdots&&&&&\\
n&2n&3n&\cdots&kn&\cdots &n^2
\end{bmatrix}}\)

Wyraz na `i,j`-tym miejscu jest równy `ij`. Suma wszystkich wyrazów tej tablicy, to \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij=(1=2+\dots+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2}\), a suma czerwonego "winkla" to `k^3`.

[timon92]

Kod: Zaznacz cały

http://sem.edu.pl/materialy/sem-plakat9.pdf

[marej]

"I wystarczy dodać toto stronami dla "

a4karo jak dodać stronami, bo nie bardzo rozumiem

[a4karo]

`a_{n}-a_{n-1}=n^3`
`a_{n-1}-a_{n-2}=(n-1)^3`
`a_{n-2}-a_{n-3}=(n-2)^3`
....
`a_{1}-a_{0}=1^3`

Dodaj to i zobacz co wyjdzie

[Mariusz M]

Można użyć rachunku różnicowego bądź rozwiązać równanie rekurencyjne funkcją tworzącą

Operator różnicowania

\(\displaystyle{ \Delta f\left( n\right) = f\left( n+1\right)-f\left( n\right) }\)

Używając operatora różnicowania moża wyrazić \(\displaystyle{ i^3}\) w postaci sumy dolnych silni
\(\displaystyle{ \Delta i^3 = \left( i+1\right)^3-i^3=3i^2+3i+1\\
\Delta^2 i^3 = 3(i+1)^2+3(i+1)+1-(3i^2+3i+1)=6i+6\\
\Delta^3 i^3 =6(i+1)-6i=6\\
p\left( x\right) = \sum_{i=0}^{n} \frac{\left( \Delta^i p\right) \left( 0\right) }{i!}x^{\underline{i}} \\
i^3=i^{\underline{3}}+3i^{\underline{2}}+i^{\underline{1}}\\
}\)

Suma nieoznaczona to

\(\displaystyle{ \sum i^3 = \frac{1}{4}i^{\underline{4}}+i^{\underline{3}}+\frac{1}{2}i^{\underline{2}} }\)

Suma którą chcesz policzyć jest to suma oznaczona

\(\displaystyle{ \sum_{0}^{n+1} i^3 = \left( \frac{1}{4}\left( n+1\right) ^{\underline{4}}+\left( n+1\right) ^{\underline{3}}+\frac{1}{2}\left( n+1\right) ^{\underline{2}}\right) - 0\\
\sum_{i=0}^{n}i^3= \frac{1}{4}\left( n+1\right)n\left( n-1\right)\left( n-2\right) + \left( n+1\right)n\left( n-1\right) + \frac{1}{2}\left( n+1\right)n\\
\sum_{i=0}^{n}i^3=\frac{1}{4}\left( n+1\right)n\left( n^2-3n+2+4n-4+2\right)\\
\sum_{i=0}^{n}i^3=\frac{1}{4}\left( n+1\right)n\left( n^2+n\right) \\
\sum_{i=0}^{n}i^3=\frac{1}{4}\left( n+1\right)n\left( n+1\right)n \\
\sum_{i=0}^{n}i^3=\left( \frac{\left( n+1\right)n }{2} \right)^{2}
}\)

Jeśli chodzi o równanie rekurencyjne to rozwiązujesz następujące równanie rekurencyjne

\(\displaystyle{ \begin{cases} s_{0} = 0 \\ s_{n} = s_{n-1}+n^3 \end{cases} \\
S\left( x\right) = \sum_{n=0}^{ \infty }s_{n}x^{n} \\
\sum_{n=1}^{ \infty }s_{n}x^{n} = \sum_{n=1}^{ \infty }s_{n-1}x^{n} + \sum_{n=1}^{ \infty }n^3x^{n}\\
}\)

Teraz należałoby przedstawić wielomian \(\displaystyle{ n^3}\) w postaci Newtona
(postać Newtona to ta która występuje w interpolacji wielomianowej Newtona)
Po przedstawieniu wielomianu w postaci Newtona można łatwo znaleźć funkcję tworzącą np z różniczkowania szeregu geometrycznego