Wariacje z powtórzeniami.

[kubekszklany]

Witam. Mam zbiór liter, załóżmy \(\displaystyle{ \{a, b, c, d, e\}}\) i układam z nich wariacje z powtórzeniami o długości \(\displaystyle{ 10}\) znaków, np. \(\displaystyle{ abaadcebad}\). Ilość wszystkich możliwych wariacji to \(\displaystyle{ \text{ilość liter w zbiorze}^{\text{długość wariacji}}}\), tj. \(\displaystyle{ 5 ^{10}}\), czyli \(\displaystyle{ 9\,765\,625}\). Teraz chciałbym obliczyć ile jest w tym zbiorze takich wariacji, które zawierają dany znak co najmniej \(\displaystyle{ x}\) razy, np. \(\displaystyle{ b}\) co najmniej \(\displaystyle{ 7}\) razy (albo dokładnie \(\displaystyle{ 7}\) razy, zależy co będzie prostsze do obliczenia). Przykładowo wariacja \(\displaystyle{ abdebcbbdc}\) nie spełnia tego warunku (\(\displaystyle{ b}\) występuje tylko \(\displaystyle{ 4}\) razy), ale z kolei \(\displaystyle{ bbdbcbbbab}\) już spełnia ten warunek (\(\displaystyle{ b}\) pojawia się \(\displaystyle{ 7}\) razy).

[Dasio11]

Wariacji zawierających dokładnie siedem liter b jest \(\displaystyle{ \binom{10}{7} \cdot 4^3}\) - najpierw wybieramy siedem spośród dziesięciu pozycji dla litery b, a na pozostałych trzech pozycjach uzupełniamy dowolną wariacją pozostałych liter.

[kubekszklany]

Ok, dzięki. A jeszcze mam pytanie, czy jest możliwość obliczyć ile jest takich wariacji, które mają dowolny znak określoną ilość razy? Przykładowo, dowolny znak \(\displaystyle{ \left\{ a, b, c, d, e\right\} }\) występuje dokładnie \(\displaystyle{ 7}\) razy? Przy większych liczbach pewnie wystarczy pomnożyć przez ilość elementów, ale dla mniejszych liczb np. liczby \(\displaystyle{ 4}\) liczy niektóre wariacje podwójnie, np. \(\displaystyle{ bbabbccdcc}\) zostanie policzone podwójnie, bo ma zarówno \(\displaystyle{ 4}\) litery \(\displaystyle{ b}\), jak i \(\displaystyle{ 4}\) litery \(\displaystyle{ c}\).

[arek1357]

Musisz się zdecydować ile każdy składnik ma wystąpić razy , taki tam wzór:

\(\displaystyle{ \frac{\left( s_{1}+...+s_{k}\right)! }{s_{1}! \cdot ... \cdot s_{k}!} }\)

Każda litera występuje dokładnie: \(\displaystyle{ s_{i}}\) razy

Są to tak zwane wariacje z ograniczeniami...