Hej,
Mam problem z takim zadaniem, że mam wyznaczyć wzór jawny na n-ty wyraz ciągu rekurencyjnego ze wzoru charakterystycznego \(\displaystyle{ x ^{2}-x+1=0 }\) no i te równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych, więc nie mogę dalej wyznaczyć wzoru jawnego. Co w takiej sytuacji? Piszemy, że nie da się wyznaczyć wzoru jawnego?
Jawna postać wzoru n-tego
-
Maradona126
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Jawna postać wzoru n-tego
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, lecz są zespolone, a stąd :
\(\displaystyle{ y_n=A \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{2}\right)^n +B \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{2}\right)^n}\)
Przechodząc na postać trygonometryczną masz:
\(\displaystyle{ y_n=(A+B)\cos n \frac{ \pi }{3}+(A-B)i\sin n\frac{ \pi }{3} }\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_n=P\cos n \frac{ \pi }{3}+Qi\sin n\frac{ \pi }{3} }\)
Znając warunki początkowe wyliczasz A,B lub P,Q i dostajesz wzór ogólny.
\(\displaystyle{ y_n=A \left( \frac{1+i \sqrt{3} }{2}\right)^n +B \left( \frac{1-i \sqrt{3} }{2}\right)^n}\)
Przechodząc na postać trygonometryczną masz:
\(\displaystyle{ y_n=(A+B)\cos n \frac{ \pi }{3}+(A-B)i\sin n\frac{ \pi }{3} }\)
czyli:
\(\displaystyle{ y_n=P\cos n \frac{ \pi }{3}+Qi\sin n\frac{ \pi }{3} }\)
Znając warunki początkowe wyliczasz A,B lub P,Q i dostajesz wzór ogólny.