Wybieranie liczb ze zbioru

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kepus2001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 11 cze 2021, o 09:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20

Wybieranie liczb ze zbioru

Post autor: kepus2001 »

Prosze o rozwiązanie ponieważ nie mam pomysłu.
zad 1.Wybieramy losowo liczbę ze zbioru \(\displaystyle{ T=\{1000,1001, ...,9999\}}\). Znajdź ilość liczb z tego zbioru, w których co najmniej raz występuje \(\displaystyle{ 0}\), co najmniej raz \(\displaystyle{ 1}\) i co najmniej raz \(\displaystyle{ 2}\).
zad 2. Niech \(\displaystyle{ S=\{100,101, ...,999\}}\).
(a) Ile liczb ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) ma co najmniej jedną z cyfr równą \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 7}\)?
(b) Ile liczb ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) ma co najmniej jedną z cyfr równą \(\displaystyle{ 3}\) i co najmniej jedną z cyfr równą \(\displaystyle{ 7}\)?
Ostatnio zmieniony 11 cze 2021, o 09:47 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Wybieranie liczb ze zbioru

Post autor: Janusz Tracz »

Zad. 1. Policz dopełnienie szukanego zbioru. Niech \(\displaystyle{ T=A \sqcup B}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) to podzbiór \(\displaystyle{ T}\) składający się z liczb w których co najmniej raz występuję \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\). A zbiór \(\displaystyle{ B}\) to dopełnienie \(\displaystyle{ A}\) czyli \(\displaystyle{ B}\) to zbiór liczb w których nie wystąpiło \(\displaystyle{ 0}\) lub nie wystąpiło \(\displaystyle{ 1}\) lub nie wystąpiło \(\displaystyle{ 2}\). Nazwijmy ten zbiór tak \(\displaystyle{ B=\mathbf{0'} \cup \mathbf{1'} \cup \mathbf{2'}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{0'}}\) to podzbiór \(\displaystyle{ T}\) taki, że jest to zbiór liczb w których nie wstąpiło \(\displaystyle{ 0}\) reszta analogicznie. Teraz skorzystajmy z zasady włączeń i włączeń

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{0'} \cup \mathbf{1'} \cup \mathbf{2'}\right|=\left|\mathbf{0'}\right|+\left|\mathbf{1'}\right|+\left|\mathbf{2'}\right|-\left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{1'}\right|-\left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{2'}\right|-\left|\mathbf{1'} \cap \mathbf{2'}\right|+\left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{1'} \cap \mathbf{2'}\right|.}\)

Można więc zapisać

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{0'}\right| = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{1'}\right| = 8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{2'}\right| = 8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9}\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{1'}\right|= 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 }\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{2'}\right|= 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 }\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{1'} \cap \mathbf{2'}\right|= 7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 }\)

\(\displaystyle{ \left|\mathbf{0'} \cap \mathbf{1'} \cap \mathbf{2'}\right|=7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 }\)

policz to czyli \(\displaystyle{ |B|=\left|\mathbf{0'} \cup \mathbf{1'} \cup \mathbf{2'}\right|}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ |A|=|T|-|B|}\).
ODPOWIEDZ