Matematyka.pl

Danych jest \(\displaystyle{ n}\) kolorów, którymi kolorujemy wierzchołki kwadratu. Na ile sposobów można pokolorować wierzchołki kwadratu tak, aby wierzchołki połączone krawędzią miały różne kolory?

Ta ilość dla rozróżnialnych wierzchołków to \(\displaystyle{ n \cdot 1 \cdot (n-1)^2+n \cdot (n-1)\cdot (n-2)^2}\) .

A mógłbyś pokrótce to wytłumaczyć?

OKI.
W kwadracie ABCD wierzchołek A mogę zamalować na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Rozróżniam dwie sytuacje:
1) Wierzchołek C ma ten sam kolor co A, więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\) kolorów.
2) Wierzchołek C ma inny kolor niż A (na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów), więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-2}\) kolorów.

A jeżeli wierzchołki nie są rozróżnialne?

a) Układy uzyskane w wyniku obrotu uznaję za ten sam układ (kwadrat bez oznaczeń na płaszczyźnie)
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{4} }\)

b) Układy uzyskane w wyniku obrotu lub symetrii względem przekątnej uznaję za ten sam układ (kwadrat bez oznaczeń w przestrzeni)
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{8} }\)

PS
W obu sumach składniki to liczby kolorowań dwoma, trzema i czterema kolorami.