Zamalowywanie wierzcholkow kwadratu
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 24 kwie 2021, o 12:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Zamalowywanie wierzcholkow kwadratu
Danych jest \(\displaystyle{ n}\) kolorów, którymi kolorujemy wierzchołki kwadratu. Na ile sposobów można pokolorować wierzchołki kwadratu tak, aby wierzchołki połączone krawędzią miały różne kolory?
Ostatnio zmieniony 10 cze 2021, o 20:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 24 kwie 2021, o 12:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Re: Zamalowywanie wierzcholkow kwadratu
A mógłbyś pokrótce to wytłumaczyć?
Ostatnio zmieniony 11 cze 2021, o 11:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: pokrótce.
Powód: Poprawa wiadomości: pokrótce.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Zamalowywanie wierzcholkow kwadratu
OKI.
W kwadracie ABCD wierzchołek A mogę zamalować na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Rozróżniam dwie sytuacje:
1) Wierzchołek C ma ten sam kolor co A, więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\) kolorów.
2) Wierzchołek C ma inny kolor niż A (na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów), więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-2}\) kolorów.
W kwadracie ABCD wierzchołek A mogę zamalować na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Rozróżniam dwie sytuacje:
1) Wierzchołek C ma ten sam kolor co A, więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-1}\) kolorów.
2) Wierzchołek C ma inny kolor niż A (na \(\displaystyle{ n-1}\) sposobów), więc dla B i dla D mogę wybrać dowolne z pozostałych \(\displaystyle{ n-2}\) kolorów.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8581
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3349 razy
Re: Zamalowywanie wierzcholkow kwadratu
a) Układy uzyskane w wyniku obrotu uznaję za ten sam układ (kwadrat bez oznaczeń na płaszczyźnie)
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{4} }\)
b) Układy uzyskane w wyniku obrotu lub symetrii względem przekątnej uznaję za ten sam układ (kwadrat bez oznaczeń w przestrzeni)
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{8} }\)
PS
W obu sumach składniki to liczby kolorowań dwoma, trzema i czterema kolorami.
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{4} }\)
b) Układy uzyskane w wyniku obrotu lub symetrii względem przekątnej uznaję za ten sam układ (kwadrat bez oznaczeń w przestrzeni)
\(\displaystyle{ il= {n \choose 2}+ {n \choose 1} {n-1 \choose 2}+ \frac{ n(n-1)(n-2)(n-3) }{8} }\)
PS
W obu sumach składniki to liczby kolorowań dwoma, trzema i czterema kolorami.