Kod: Zaznacz cały
https://imgupload.pl/images/2021/05/16/ry.png12 trójkątów
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
12 trójkątów
Danych jest 12 trójkątów (rys). Każdy bok trójkąta kolorujemy na zielono, czerwono lub niebiesko. Wśród \(\displaystyle{ 3^{24}}\) możliwych pokolorowań, ile jest takich, ze każdy trójkąt ma bok innego koloru?
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: 12 trójkątów
W tym zadaniu pokaże o co mi chodzi jak do tego podszedłem, a mianowicie najpierw biorę cztery trójkąty nie mające ze sobą wspólnych ani wierzchołków ani krawędzi tak na oko to: 12, 3, 6, 9 - to godziny, zacznę od tego o 6 i będę szedł w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara...
Ponieważ one są rozłączne więc ich kolorowanie nie wpływa na nic, jeżeli będziemy każdy kolorować trzema kolorami krawędzie to przy każdym takich możliwości jest: \(\displaystyle{ 3!=6}\), co razem dla czterech wyniesie.: \(\displaystyle{ 6^4}\)...
Kolory możemy numerować przy każdym z tych czterech trójkątów np.: \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) patrząc na ten rysunek kolor z lewej to 1 z prawej to 3
A kolor krawędzi sześciokąta, który nie ma na nic wpływu jest tylko konsekwencją dwóch pozostałych to 2, więc zapis możemy uprościć:
\(\displaystyle{ (1,2,3)=(1,3)}\)
I teraz tak między dwoma kolejnymi pokolorowanymi trójkątami nazwijmy je bazowymi idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara mamy po dwa trójkąty z nimi związane, znajdujące się między nimi...
I teraz spostrzeżenie istotne, jeżeli dwa trójkąty kolejne bazowe są pokolorowane w taki sposób:
\(\displaystyle{ (x,a) (a,y)}\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na dwa sposoby tak żeby trójkąty były różnokolorowe...
a jeżeli mamy:
\(\displaystyle{ (x,a) (b,y) , a \neq b }\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na jeden sposób
tak żeby trójkąty były różnokolorowe
Więc kolorowań wszystkich powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{x_{i}=1, 2}^{}\left[ (x,y)x_{1}\right] \left[ (y,z)x_{2}\right] \left[ (z,t)x_{3}\right] \left[ (t,x)x_{4}\right] }\)
gdzie zapis typu \(\displaystyle{ (x,y)}\) lub latex] (y,z)[/latex] oznacza to co pisałem wcześniej ale w obecnym kontekście skróconym oznacza
Na ile sposobów oba trójkąty bazowe sąsiednie można ustawić tak by boki: ostatni jednego i pierwszy drugiego bazowego trójkąta były kolory równe lub różne i od tego zależy.: \(\displaystyle{ x_{i}=1 \vee 2}\)
Żeby np. wszystkie sąsiady były różne te iloczyny można zapisać
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}\)
Wtedy między nimi będą jedynki, a gdy będzie iloczyn typu:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2}\) to między nimi wstawimy dwójki, i trzeba jechać po wszystkich możliwych iloczynach
Lecz to zwijanie to najgorszy punkt programu...
Dodano po 1 dniu 8 godzinach 19 minutach 14 sekundach:
Teraz to rozjaśnię po zaciemnieniu:
a mianowicie:
Te cztery kolorowe trójkąty nazwiemy układami jak wyżej , układy między sobą mogą być równe lub różne, równe będą np. w takim przypadku gdy:
\(\displaystyle{ (a,b)=(b,c)}\)
Różne gdy:
\(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d), \Leftrightarrow b \neq c}\)
Więc wracając mamy cztery układy:
\(\displaystyle{ (a,b) =(b,c) \neq (d,e)=(e,a)=}\)
Taki przykładowy zestaw , ostatnia np. równość idzie do pierwszego bo zamyka się ten zestaw czterech układów cyklicznie...
Są cztery układy a między nimi zestaw czterech równości i różności na wiele sposobów...
Może być:
1. 4 różności - jeden sposób np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d) \neq (e,f) \neq (g,h) \neq }\)
2. 1 równość i 3 różności na cztery sposoby np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d)=(d,e) \neq (f,g) \neq }\)
3. 4 równości - jeden sposób np. \(\displaystyle{ (a,b) = (c,d)=(d,e) = (f,g) = }\)
4. 2 równości i 2 różności na sześć sposobów np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d)=(d,e) \neq (f,g) = }\)
5. 3 równości i 1 różność na cztery sposoby np. \(\displaystyle{ (a,b) = (c,d)=(d,e) \neq (f,g) = }\)
I teraz obliczałem to:
Np. cztery równości:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 3=18}\)
Dla trzech różności i jednej równości:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 4 \cdot 4+6 \cdot 4 \cdot 4+6 \cdot 4 \cdot 4+4 \cdot 6 \cdot 4=384}\)
Dla 3 równości i jednej różności - \(\displaystyle{ 192}\)
Dla dwóch równości i dwóch nierówności - \(\displaystyle{ 318}\)
Dla czterech różności - \(\displaystyle{ 384}\)
Obliczenia dość niestrawne wychodząc od pierwszego układu zawsze mamy 6 możliwości a potem jeżeli jest różność to mnożymy przez cztery, a jeżeli równość to przez dwa, najgorzej jest w trzecim i czwartym układzie, trzeba rozważać przypadki bo czwarty będzie zdominowany przez pierwszy i przez trzeci więc często mnożenie wtedy odbywa się przez jeden lub dwa..., można samemu kombinować...
Same te mnożenia są mało ciekawe i jest sporo kombinacji...
Pamiętamy, że wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 6^4=1296}\)
I teraz przypominamy, że jeżeli między dwoma sąsiednimi układami równymi mamy jeszcze dwie możliwości wsadzenia trójkątów, a układami różnymi mamy tylko jedną możliwość...
Czyli reasumując zliczmy ilość różnych kolorowań:
\(\displaystyle{ 18 \cdot 2^4+384 \cdot 2^1+192 \cdot 2^3+318 \cdot 2^2+384 \cdot 2^0=?}\)
Ponieważ one są rozłączne więc ich kolorowanie nie wpływa na nic, jeżeli będziemy każdy kolorować trzema kolorami krawędzie to przy każdym takich możliwości jest: \(\displaystyle{ 3!=6}\), co razem dla czterech wyniesie.: \(\displaystyle{ 6^4}\)...
Kolory możemy numerować przy każdym z tych czterech trójkątów np.: \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) patrząc na ten rysunek kolor z lewej to 1 z prawej to 3
A kolor krawędzi sześciokąta, który nie ma na nic wpływu jest tylko konsekwencją dwóch pozostałych to 2, więc zapis możemy uprościć:
\(\displaystyle{ (1,2,3)=(1,3)}\)
I teraz tak między dwoma kolejnymi pokolorowanymi trójkątami nazwijmy je bazowymi idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara mamy po dwa trójkąty z nimi związane, znajdujące się między nimi...
I teraz spostrzeżenie istotne, jeżeli dwa trójkąty kolejne bazowe są pokolorowane w taki sposób:
\(\displaystyle{ (x,a) (a,y)}\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na dwa sposoby tak żeby trójkąty były różnokolorowe...
a jeżeli mamy:
\(\displaystyle{ (x,a) (b,y) , a \neq b }\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na jeden sposób
tak żeby trójkąty były różnokolorowe
Więc kolorowań wszystkich powinno być:
\(\displaystyle{ \sum_{x_{i}=1, 2}^{}\left[ (x,y)x_{1}\right] \left[ (y,z)x_{2}\right] \left[ (z,t)x_{3}\right] \left[ (t,x)x_{4}\right] }\)
gdzie zapis typu \(\displaystyle{ (x,y)}\) lub latex] (y,z)[/latex] oznacza to co pisałem wcześniej ale w obecnym kontekście skróconym oznacza
Na ile sposobów oba trójkąty bazowe sąsiednie można ustawić tak by boki: ostatni jednego i pierwszy drugiego bazowego trójkąta były kolory równe lub różne i od tego zależy.: \(\displaystyle{ x_{i}=1 \vee 2}\)
Żeby np. wszystkie sąsiady były różne te iloczyny można zapisać
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}\)
Wtedy między nimi będą jedynki, a gdy będzie iloczyn typu:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2}\) to między nimi wstawimy dwójki, i trzeba jechać po wszystkich możliwych iloczynach
Lecz to zwijanie to najgorszy punkt programu...
Dodano po 1 dniu 8 godzinach 19 minutach 14 sekundach:
Teraz to rozjaśnię po zaciemnieniu:
a mianowicie:
Te cztery kolorowe trójkąty nazwiemy układami jak wyżej , układy między sobą mogą być równe lub różne, równe będą np. w takim przypadku gdy:
\(\displaystyle{ (a,b)=(b,c)}\)
Różne gdy:
\(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d), \Leftrightarrow b \neq c}\)
Więc wracając mamy cztery układy:
\(\displaystyle{ (a,b) =(b,c) \neq (d,e)=(e,a)=}\)
Taki przykładowy zestaw , ostatnia np. równość idzie do pierwszego bo zamyka się ten zestaw czterech układów cyklicznie...
Są cztery układy a między nimi zestaw czterech równości i różności na wiele sposobów...
Może być:
1. 4 różności - jeden sposób np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d) \neq (e,f) \neq (g,h) \neq }\)
2. 1 równość i 3 różności na cztery sposoby np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d)=(d,e) \neq (f,g) \neq }\)
3. 4 równości - jeden sposób np. \(\displaystyle{ (a,b) = (c,d)=(d,e) = (f,g) = }\)
4. 2 równości i 2 różności na sześć sposobów np. \(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d)=(d,e) \neq (f,g) = }\)
5. 3 równości i 1 różność na cztery sposoby np. \(\displaystyle{ (a,b) = (c,d)=(d,e) \neq (f,g) = }\)
I teraz obliczałem to:
Np. cztery równości:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 3=18}\)
Dla trzech różności i jednej równości:
\(\displaystyle{ 6 \cdot 4 \cdot 4+6 \cdot 4 \cdot 4+6 \cdot 4 \cdot 4+4 \cdot 6 \cdot 4=384}\)
Dla 3 równości i jednej różności - \(\displaystyle{ 192}\)
Dla dwóch równości i dwóch nierówności - \(\displaystyle{ 318}\)
Dla czterech różności - \(\displaystyle{ 384}\)
Obliczenia dość niestrawne wychodząc od pierwszego układu zawsze mamy 6 możliwości a potem jeżeli jest różność to mnożymy przez cztery, a jeżeli równość to przez dwa, najgorzej jest w trzecim i czwartym układzie, trzeba rozważać przypadki bo czwarty będzie zdominowany przez pierwszy i przez trzeci więc często mnożenie wtedy odbywa się przez jeden lub dwa..., można samemu kombinować...
Same te mnożenia są mało ciekawe i jest sporo kombinacji...
Pamiętamy, że wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 6^4=1296}\)
I teraz przypominamy, że jeżeli między dwoma sąsiednimi układami równymi mamy jeszcze dwie możliwości wsadzenia trójkątów, a układami różnymi mamy tylko jedną możliwość...
Czyli reasumując zliczmy ilość różnych kolorowań:
\(\displaystyle{ 18 \cdot 2^4+384 \cdot 2^1+192 \cdot 2^3+318 \cdot 2^2+384 \cdot 2^0=?}\)