Danych jest 12 trójkątów (rys). Każdy bok trójkąta kolorujemy na zielono, czerwono lub niebiesko. Wśród \(\displaystyle{ 3^{24}}\) możliwych pokolorowań, ile jest takich, ze każdy trójkąt ma bok innego koloru?
W tym zadaniu pokaże o co mi chodzi jak do tego podszedłem, a mianowicie najpierw biorę cztery trójkąty nie mające ze sobą wspólnych ani wierzchołków ani krawędzi tak na oko to: 12, 3, 6, 9 - to godziny, zacznę od tego o 6 i będę szedł w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara...
Ponieważ one są rozłączne więc ich kolorowanie nie wpływa na nic, jeżeli będziemy każdy kolorować trzema kolorami krawędzie to przy każdym takich możliwości jest: \(\displaystyle{ 3!=6}\), co razem dla czterech wyniesie.: \(\displaystyle{ 6^4}\)...
Kolory możemy numerować przy każdym z tych czterech trójkątów np.: \(\displaystyle{ (1,2,3)}\) patrząc na ten rysunek kolor z lewej to 1 z prawej to 3
A kolor krawędzi sześciokąta, który nie ma na nic wpływu jest tylko konsekwencją dwóch pozostałych to 2, więc zapis możemy uprościć:
\(\displaystyle{ (1,2,3)=(1,3)}\)
I teraz tak między dwoma kolejnymi pokolorowanymi trójkątami nazwijmy je bazowymi idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara mamy po dwa trójkąty z nimi związane, znajdujące się między nimi...
I teraz spostrzeżenie istotne, jeżeli dwa trójkąty kolejne bazowe są pokolorowane w taki sposób:
\(\displaystyle{ (x,a) (a,y)}\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na dwa sposoby tak żeby trójkąty były różnokolorowe...
a jeżeli mamy:
\(\displaystyle{ (x,a) (b,y) , a \neq b }\) kolor prawy i lewy obu trójkątów są równe to te dwa trójkąty między nimi można kolorować na jeden sposób
tak żeby trójkąty były różnokolorowe
gdzie zapis typu \(\displaystyle{ (x,y)}\) lub latex] (y,z)[/latex] oznacza to co pisałem wcześniej ale w obecnym kontekście skróconym oznacza
Na ile sposobów oba trójkąty bazowe sąsiednie można ustawić tak by boki: ostatni jednego i pierwszy drugiego bazowego trójkąta były kolory równe lub różne i od tego zależy.: \(\displaystyle{ x_{i}=1 \vee 2}\)
Żeby np. wszystkie sąsiady były różne te iloczyny można zapisać
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}\)
Wtedy między nimi będą jedynki, a gdy będzie iloczyn typu:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 2}\) to między nimi wstawimy dwójki, i trzeba jechać po wszystkich możliwych iloczynach
Lecz to zwijanie to najgorszy punkt programu...
Dodano po 1 dniu 8 godzinach 19 minutach 14 sekundach:
Teraz to rozjaśnię po zaciemnieniu:
a mianowicie:
Te cztery kolorowe trójkąty nazwiemy układami jak wyżej , układy między sobą mogą być równe lub różne, równe będą np. w takim przypadku gdy:
\(\displaystyle{ (a,b)=(b,c)}\)
Różne gdy:
\(\displaystyle{ (a,b) \neq (c,d), \Leftrightarrow b \neq c}\)
Dla 3 równości i jednej różności - \(\displaystyle{ 192}\)
Dla dwóch równości i dwóch nierówności - \(\displaystyle{ 318}\)
Dla czterech różności - \(\displaystyle{ 384}\)
Obliczenia dość niestrawne wychodząc od pierwszego układu zawsze mamy 6 możliwości a potem jeżeli jest różność to mnożymy przez cztery, a jeżeli równość to przez dwa, najgorzej jest w trzecim i czwartym układzie, trzeba rozważać przypadki bo czwarty będzie zdominowany przez pierwszy i przez trzeci więc często mnożenie wtedy odbywa się przez jeden lub dwa..., można samemu kombinować...
Same te mnożenia są mało ciekawe i jest sporo kombinacji...
Pamiętamy, że wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 6^4=1296}\)
I teraz przypominamy, że jeżeli między dwoma sąsiednimi układami równymi mamy jeszcze dwie możliwości wsadzenia trójkątów, a układami różnymi mamy tylko jedną możliwość...