A iloczyn ich równał się cztery…
: 3 maja 2021, o 18:21
…dobrze że nie czterdzieści i cztery.
Mam proste zadanie z matury 2017, rozumiem oficjalne rozwiązanie, ale nie rozumiem, gdzie jest błąd w moim rozwiązaniu. Sprawdziłem łopatologicznie w Excelu, że rozwiązanie CKE jest poprawne.
Rozwiązanie CKE: wszystkich 3-wyrazowych ciągów jest \(\displaystyle{ 8^3=512}\). Ciągi spełniające warunek „iloczyn=4” dzielą się na:
Rozwiązanie moje: iloczyn każdego ciągu można zapisać jako
Dalej na razie nie piszę, bo wiem że już tu jest błąd, tylko nie rozumiem, jaki.
Mam proste zadanie z matury 2017, rozumiem oficjalne rozwiązanie, ale nie rozumiem, gdzie jest błąd w moim rozwiązaniu. Sprawdziłem łopatologicznie w Excelu, że rozwiązanie CKE jest poprawne.
Z punktu widzenia warunku „iloczyn=4” kolejność losowanych liczb nie ma znaczenia. Można więc rozwiązać na dwa sposoby — rozróżniając kolejność (CKE) oraz nie rozróżniając kolejności. Oczywiście w pierwszym sposobie licznik i mianownik wyjdą większe, ale ułamek musi być ten sam.W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Rozwiązanie CKE: wszystkich 3-wyrazowych ciągów jest \(\displaystyle{ 8^3=512}\). Ciągi spełniające warunek „iloczyn=4” dzielą się na:
- ciągi złożone z 3 liczb parzystych — jest ich \(\displaystyle{ 4^3=64}\)
- ciągi złożone z 2 liczb parzystych i 1 nieparzystej — jest ich \(\displaystyle{ 4^2 \cdot 3 \cdot 4=192}\)
- ciągi złożone z 1 liczby parzystej podzielnej przez 4 i 2 nieparzystych — jest ich \(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 4^2=96}\)
Rozwiązanie moje: iloczyn każdego ciągu można zapisać jako
\(\displaystyle{ 1^{n_1} 2^{n_2} 3^{n_3} 4^{n_4} 5^{n_5} 6^{n_6} 7^{n_7} 8^{n_8} = 2^{n_2+2n_4+n_6+3n_8} 3^{n_3+n_6} 5^{n_5} 7^{n_7}=I }\)
gdzie \(\displaystyle{ n_i}\) jest liczbą wystąpień danej liczby w ciągu, oczywiście \(\displaystyle{ 0 \le n_i \le 3,\ \sum_{i=1}^{8}n_i=3 }\). Wszystkich 3-elementowych zestawów liczb jest tyle, ile rozwiązań równania \(\displaystyle{ n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5 + n_6 + n_7 + n_8 = 3}\), czyli tyle ile podziałów liczby 3 na 8 nieujemnych składników. 3=2+1=1+1+1, co po odpowiednich permutacjach daje \(\displaystyle{ \frac{8!}{1!7!} + \frac{8!}{1!1!6!} + \frac{8!}{3!5!} = 120}\). I tu już jest pierwszy problem, mianowicie jeśli wynik ma wyjść \(\displaystyle{ \frac{11}{16} }\) to zdarzeń sprzyjających musiałoby być \(\displaystyle{ 82,5}\)…Dalej na razie nie piszę, bo wiem że już tu jest błąd, tylko nie rozumiem, jaki.