Cześć,
Spotkało, mnie takie trudne zadanie i trochę się w nim gubię.
Zad:
Dane są ciągi \(\displaystyle{ a _{n} }\) i \(\displaystyle{ b _{n} }\), takie że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{1}=1 \\ a _{n+1}=a _{n}+2b _{n} \space\space dla \space n>1 \end{cases} }\) i \(\displaystyle{ \begin{cases} b _{1} =1 \\ b _{n+1} =a _{n}+b _{n} \space\space dla \space n>1 \end{cases} }\)
Dowieść, że \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{2}((1+ \sqrt{2})+(1- \sqrt{2}) ^{n} ) }\), \(\displaystyle{ b _{n}= \frac{ \sqrt{2} }{4}= ((1+ \sqrt{2})-(1- \sqrt{2}) ^{n}) }\)
Z góry Dziękuję!
Dodam, że największy problem mam przy dowodzeniu Tezy.
Dowód indukcyjny
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
- Płeć: Kobieta
- wiek: 21
- Podziękował: 29 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4068
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dowód indukcyjny
Masz do wyboru kilka opcji:
\(\displaystyle{ \bullet}\) indukcja matematyczna o ile wolno Ci korzystać z gotowych wzorów. Czyli podstawiasz i sprawdzasz, że działa,
\(\displaystyle{ \bullet}\) funkcje tworzące,
\(\displaystyle{ \bullet}\) równanie charakterystyczne rekurencji,
\(\displaystyle{ \bullet}\) transformata \(\displaystyle{ \mathscr{Z}}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) i pewnie wiele innych opcji opartych na macierzach itp. które można znaleźć w Internecie.
chyba najprościej z drugiej rekurencji wyciągnąć \(\displaystyle{ a_n=b_{n+1}-b_n}\) i wstawić do pierwszej. Co daje \(\displaystyle{ b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_{n}+2b_n }\) czyli \(\displaystyle{ b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0}\) z to ma równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^2-2\lambda -1=0}\) zatem \(\displaystyle{ b_n=A\lambda_1^n+B\lambda_2^n}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\) to oczywiście pierwiastki. Stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyznacz z warunków początkowych \(\displaystyle{ b_1}\) już masz dolicz \(\displaystyle{ b_2}\) ręcznie z rekurencji.
\(\displaystyle{ \bullet}\) indukcja matematyczna o ile wolno Ci korzystać z gotowych wzorów. Czyli podstawiasz i sprawdzasz, że działa,
\(\displaystyle{ \bullet}\) funkcje tworzące,
\(\displaystyle{ \bullet}\) równanie charakterystyczne rekurencji,
\(\displaystyle{ \bullet}\) transformata \(\displaystyle{ \mathscr{Z}}\),
\(\displaystyle{ \bullet}\) i pewnie wiele innych opcji opartych na macierzach itp. które można znaleźć w Internecie.
chyba najprościej z drugiej rekurencji wyciągnąć \(\displaystyle{ a_n=b_{n+1}-b_n}\) i wstawić do pierwszej. Co daje \(\displaystyle{ b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_{n}+2b_n }\) czyli \(\displaystyle{ b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0}\) z to ma równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^2-2\lambda -1=0}\) zatem \(\displaystyle{ b_n=A\lambda_1^n+B\lambda_2^n}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\) to oczywiście pierwiastki. Stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyznacz z warunków początkowych \(\displaystyle{ b_1}\) już masz dolicz \(\displaystyle{ b_2}\) ręcznie z rekurencji.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Dowód indukcyjny
Jest tu jeszcze ciekawa interpretacja tego zadania, ponieważ można zadać ciąg rekurencyjny, który jest znacznie trudniejszy od tego układu a mianowicie:
\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n}+1}{2x_{n}+1} }\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{b_{n}}{a_{n}} }\)
Znajdź postać jawną tego wzoru...
\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n}+1}{2x_{n}+1} }\)
\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{b_{n}}{a_{n}} }\)
Znajdź postać jawną tego wzoru...