Dowód indukcyjny

[Maradona126]

Cześć,

Spotkało, mnie takie trudne zadanie i trochę się w nim gubię.

Zad:
Dane są ciągi \(\displaystyle{ a _{n} }\) i \(\displaystyle{ b _{n} }\), takie że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{1}=1 \\ a _{n+1}=a _{n}+2b _{n} \space\space dla \space n>1 \end{cases} }\) i \(\displaystyle{ \begin{cases} b _{1} =1 \\ b _{n+1} =a _{n}+b _{n} \space\space dla \space n>1 \end{cases} }\)

Dowieść, że \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{1}{2}((1+ \sqrt{2})+(1- \sqrt{2}) ^{n} ) }\), \(\displaystyle{ b _{n}= \frac{ \sqrt{2} }{4}= ((1+ \sqrt{2})-(1- \sqrt{2}) ^{n}) }\)

Z góry Dziękuję!

Dodam, że największy problem mam przy dowodzeniu Tezy.

[Janusz Tracz]

Masz do wyboru kilka opcji:

\(\displaystyle{ \bullet}\) indukcja matematyczna o ile wolno Ci korzystać z gotowych wzorów. Czyli podstawiasz i sprawdzasz, że działa,

\(\displaystyle{ \bullet}\) funkcje tworzące,

\(\displaystyle{ \bullet}\) równanie charakterystyczne rekurencji,

\(\displaystyle{ \bullet}\) transformata \(\displaystyle{ \mathscr{Z}}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) i pewnie wiele innych opcji opartych na macierzach itp. które można znaleźć w Internecie.

chyba najprościej z drugiej rekurencji wyciągnąć \(\displaystyle{ a_n=b_{n+1}-b_n}\) i wstawić do pierwszej. Co daje \(\displaystyle{ b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_{n}+2b_n }\) czyli \(\displaystyle{ b_{n+2}-2b_{n+1}-b_n=0}\) z to ma równanie charakterystyczne \(\displaystyle{ \lambda^2-2\lambda -1=0}\) zatem \(\displaystyle{ b_n=A\lambda_1^n+B\lambda_2^n}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2}\) to oczywiście pierwiastki. Stałe \(\displaystyle{ A,B}\) wyznacz z warunków początkowych \(\displaystyle{ b_1}\) już masz dolicz \(\displaystyle{ b_2}\) ręcznie z rekurencji.

[arek1357]

Jest tu jeszcze ciekawa interpretacja tego zadania, ponieważ można zadać ciąg rekurencyjny, który jest znacznie trudniejszy od tego układu a mianowicie:

\(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_{n}+1}{2x_{n}+1} }\)

\(\displaystyle{ x_{1}=1}\)

Gdzie:

\(\displaystyle{ x_{n}= \frac{b_{n}}{a_{n}} }\)


Znajdź postać jawną tego wzoru...