Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Post autor: Maradona126 »

Witam,

Mam problem z jednym przykładem.
Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}2 ^{k}{n \choose k} =3 ^{n} . }\)
Ostatnio zmieniony 13 kwie 2021, o 19:50 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Post autor: a4karo »

wsk: `3=2+1`. Ale czemu indukcją?
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Post autor: Maradona126 »

a4karo pisze: 13 kwie 2021, o 19:33 wsk: `3=2+1`. Ale czemu indukcją?
Nie wiem, taka treść zadania. Mógłbyś dać więcej tych wskazówek troszeczkę? Nadal nie wiem jak to wszystko ładnie udowodnić. :(
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Post autor: Premislav »

Po skorzystaniu ze wskazówki a4karo (do prawej strony) wystarczy zastosować wzór dwumianowy Newtona.

Dowód indukcyjny z kolei to chyba jeden z najgorszych możliwych pomysłów, ale da się go przeprowadzić, wykorzystując w kroku indukcyjnym zależność \(\displaystyle{ {n+1\choose k}={n\choose k}+{n\choose k-1}}\)
Maradona126
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 77
Rejestracja: 7 gru 2020, o 14:34
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 29 razy

Re: Udowodnij indukcyjnie następująco tożsamość

Post autor: Maradona126 »

Premislav pisze: 13 kwie 2021, o 19:47 Po skorzystaniu ze wskazówki a4karo (do prawej strony) wystarczy zastosować wzór dwumianowy Newtona.

Dowód indukcyjny z kolei to chyba jeden z najgorszych możliwych pomysłów, ale da się go przeprowadzić, wykorzystując w kroku indukcyjnym zależność \(\displaystyle{ {n+1\choose k}={n\choose k}+{n\choose k-1}}\)
Dzięki :)
ODPOWIEDZ