Funkcje Tworzące

[Maradona126]

Cześć,

Mam pytanie czy jest jakiś schemat na wyznaczanie funkcji tworzących np. takich ciągów \(\displaystyle{ a _{n}=2n+3 }\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN _{0}. }\)

I jak i też takich: \(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0}=a _{1}=1,\space a _{2} =2, \\ a _{n}=6a _{n-1}-11a _{n-2} + 6a _{n-3}, \space\space n \ge 3. \end{cases} }\)

Za odpowiedź z góry Dzięki.

[Dasio11]

Sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (2n+3) x^n}\) można obliczyć metodą zaburzania sum lub przez różniczkowanie szeregów potęgowych.

Drugą zaś tak:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
F(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 1 + x + 2x^2 + \sum_{n=3}^{\infty} a_n x^n = 1+x+2x^2 + \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n \\
& = 1+x+2x^2 + 6x \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^2 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^3 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3} = \\[1ex]
& = 1+x+2x^2 + 6x \big( F(x) - 1 - x \big) - 11 x^2 \big( F(x) - 1 \big) + 6x^3 F(x)
\end{align*}}\)

i pozostaje wyliczyć z tego równania \(\displaystyle{ F(x)}\).

[Maradona126]

Sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} (2n+3) x^n}\) można obliczyć metodą zaburzania sum lub przez różniczkowanie szeregów potęgowych.

Drugą zaś tak:

\(\displaystyle{ \begin{align*}
F(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 1 + x + 2x^2 + \sum_{n=3}^{\infty} a_n x^n = 1+x+2x^2 + \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n \\
& = 1+x+2x^2 + 6x \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^2 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^3 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3} = \\[1ex]
& = 1+x+2x^2 + 6x \big( F(x) - 1 - x \big) - 11 x^2 \big( F(x) - 1 \big) + 6x^3 F(x)
\end{align*}}\)

i pozostaje wyliczyć z tego równania \(\displaystyle{ F(x)}\).

Mam pytanie, te potęgi \(\displaystyle{ x}\) przed znakiem sumy od czego zależą? \(\displaystyle{ 6x \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^2 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^3 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3} }\) Konkretnie chodzi mi o \(\displaystyle{ 6x}\), \(\displaystyle{ 11 x^{2} }\), \(\displaystyle{ 6 x^{3} }\). Bo mam tu jeszcze parę rozwiązań i te potęgi są czasami różne, a nie mogę znaleźć tej zależności.

[Dasio11]

Chyba nie rozumiem pytania. Potęgi są takie, żeby przekształcenia były poprawne. Równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n = 6x \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^2 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^3 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3}}\)

jest prawdziwa, a na przykład

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n = 6x^5 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^4 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^7 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3}}\)

już nie.

[Maradona126]

Chyba nie rozumiem pytania. Potęgi są takie, żeby przekształcenia były poprawne. Równość

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n = 6x \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^2 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^3 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3}}\)

jest prawdziwa, a na przykład

\(\displaystyle{ \sum_{n=3}^{\infty} (6a_{n-1} - 11a_{n-2} + 6a_{n-3}) x^n = 6x^5 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-1} x^{n-1} - 11x^4 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2} + 6x^7 \sum_{n=3}^{\infty} a_{n-3} x^{n-3}}\)

już nie.

Dobra w tym przykładzie to już mniej więcej ogarniam to zależność, ale w takim już nie za bardzo:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a _{0}=1, \space a _{1}=2 \\ a _{n+2}=a _{n+1}-a _{n} +n +2 \end{cases} }\)

Tam chyba trzy razy przed znakiem sumy \(\displaystyle{ x}\) będzie podniesiony do kwadratu i to właśnie tutaj się najbardziej gubię.