Dzień dobry,
Załóżmy, że idę do sklepu i kelner mówi mi, że mam do wyboru 6 zup oraz 5 drugich dań. Na ile sposobów mogę sobie wybrać obiad ( jedna zupa oraz jedno drugie danie ). Mogę wykorzystać tutaj metodę mnożenia i będę miał po prostu 30 obiadów. Kolejność jest tu z góry ustalona tzn. najpierw wybieram zupę, a potem drugie danie. Zatem można powiedzieć, że są to albo kombinacje ( bo nie chcę dublować wyników ), albo ciągi, w których jest odpowiednia kolejność ( najpierw zupa, potem drugie danie ).
Weźmy teraz inny przykład: 2 kostki ( sześciościenne oraz uczciwe ). Tam niejako mogę mieć ciągi: \(\displaystyle{ \left( 2, 3\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 3, 2\right)}\). Z jednej strony kolejność ma tutaj znaczenie w przeciwieństwie do przypadku z daniami ( jednak mam 2 i 3 w różnych kolejnościach ), z drugiej jednak strony to tutaj "śmiesznie" zarówno pierwszy jak i drugi rzut jest wybierany ze zbiorów z tymi samymi oznaczeniami. Czy zatem mam na to patrzeć tak jak na przykład z daniami? Że tutaj też są albo zbiory, albo ciągi takie, w których jest odpowiednia kolejność i patrzeć bardziej tak, że wypadło mi: \(\displaystyle{ \left( 2, III\right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( 3, II\right)}\) ( specjalnie zmieniam oznaczenie, żeby odróżnić zbiory ) ?
Jeżeli rzeczywiście byłaby kolejność w przykładzie drugim to dla \(\displaystyle{ \left( 2, III\right) }\) powinno też być \(\displaystyle{ \left( III, 2\right) }\), a korzystając z metody mnożenia nie będę w stanie tego osiągnąć. Zatem wydaje mi się, że i tutaj kolejność jest z góry ustalona.
Rzut 2 kostkami, a kolejność
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Rzut 2 kostkami, a kolejność
Twoje wątpliwości biorą się stąd, że nie bierzesz pod uwagę doświadczeń losowych.
Przykład 1
Doświadczenie losowe polega na
- zamówieniu losowym jednej zupy (jednej z sześciu) - etap pierwszy
- zamówieniu losowym jednego z pięciu drugich dań - etap drugi
Mamy do czynienia z uporządkowanymi parami: (zupa, drugie danie)
Z reguły mnożenia, wszystkich takich zamówień (par uporządkowanych zestawów obiadowych) jest \(\displaystyle{ |Z|\cdot |D|= 6\cdot 5 = 30. }\)
Nie ma tu mowy o kombinacjach bez powtórzeń jako podzbiorach wszystkich zbioru dań jak i wariacjach bez powtórzeń jako parach uporządkowanych, bo dokonujemy losowego wyboru po jednym elemencie z każdego z dwóch różnych zbiorów.
Przykład 2
Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym rzucie dwiema kostkami sześciennymi.
-kolejność wyników jest nieistotna,
-wyniki mogą się powtarzać.
W tym przypadku zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia \(\displaystyle{ \Omega }\)
składa się z dwuelementowych podzbiorów (kombinacji z powtórzeniami) ze zbioru sześcioelementowego
\(\displaystyle{ \{ \{i , j\}: \ \ i, j \in \{1,2,3,4,5,6\} \}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = \overline{C_{6}^{2}} = \frac{(6 + 2 -1)!}{2!\cdot (6-1)!} = \frac{7!}{2!\cdot 5!} = 21.}\)
\(\displaystyle{ P(\{\{i,j\}\}) = \frac{1}{21} \ \ (1) }\)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie sześcienną kostką
- kolejność wyników jest istotna,
- wyniki mogą się powtarzać.
W tym przypadku zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ \Omega = \{ (i, j): i, j \in \{1,2,3,4,5,6\}\} }\)
składa się ze zbioru dwuelementowych ciągów liczbowych (par uporządkowanych) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6\}, }\)
czyli dwuelementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego
\(\displaystyle{ |\Omega| = \overline{V_{6}^{2}} = 6^2 =36.}\)
\(\displaystyle{ P(\{(i,j)\}) = \frac{1}{36}, \ \ i, j = 1,2,3,4,5,6.}\)
Powstaje pytanie, czy model pierwszy doświadczenia losowego - jednoczesnego rzutu parą kostek sześciennych określony wzorem \(\displaystyle{ (1) }\) jest dobry?
Odpowiedź jest negatywna. Nie ma na to dowodu matematycznego. Pozostała tylko jedna droga - konfrontacja modelu z rzeczywistością - obserwacja częstości zdarzeń \(\displaystyle{ \{i, j \} }\) i porównanie tych częstości z \(\displaystyle{ (1) }\)
Jeśli mamy dobrze skonstruowany model probabilistyczny doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, P), }\) to prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A) }\) jest miarą częstości zachodzenia zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) przy wielokrotnej realizacji doświadczenia.
Błędność modelu \(\displaystyle{ (1) }\) rzutu parą kostek symetrycznych nie wynika z niewłaściwego wyboru zdarzeń elementarnych, ale z niewłaściwego przyporządkowania im prawdopodobieństw.
Określając prawdopodobieństwa zgodnie ze wzorem
\(\displaystyle{ P(\{\{i,j\}\}) = \begin{cases} \frac{1}{36} \ \ \text{dla} \ \ i = j \\ \frac{1}{18} \ \ \text{dla} \ \ i< j, \end{cases} }\)
dostajemy dobry model rzutu parą kostek.
Przykład 1
Doświadczenie losowe polega na
- zamówieniu losowym jednej zupy (jednej z sześciu) - etap pierwszy
- zamówieniu losowym jednego z pięciu drugich dań - etap drugi
Mamy do czynienia z uporządkowanymi parami: (zupa, drugie danie)
Z reguły mnożenia, wszystkich takich zamówień (par uporządkowanych zestawów obiadowych) jest \(\displaystyle{ |Z|\cdot |D|= 6\cdot 5 = 30. }\)
Nie ma tu mowy o kombinacjach bez powtórzeń jako podzbiorach wszystkich zbioru dań jak i wariacjach bez powtórzeń jako parach uporządkowanych, bo dokonujemy losowego wyboru po jednym elemencie z każdego z dwóch różnych zbiorów.
Przykład 2
Doświadczenie losowe polega na jednoczesnym rzucie dwiema kostkami sześciennymi.
-kolejność wyników jest nieistotna,
-wyniki mogą się powtarzać.
W tym przypadku zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia \(\displaystyle{ \Omega }\)
składa się z dwuelementowych podzbiorów (kombinacji z powtórzeniami) ze zbioru sześcioelementowego
\(\displaystyle{ \{ \{i , j\}: \ \ i, j \in \{1,2,3,4,5,6\} \}.}\)
\(\displaystyle{ |\Omega| = \overline{C_{6}^{2}} = \frac{(6 + 2 -1)!}{2!\cdot (6-1)!} = \frac{7!}{2!\cdot 5!} = 21.}\)
\(\displaystyle{ P(\{\{i,j\}\}) = \frac{1}{21} \ \ (1) }\)
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie sześcienną kostką
- kolejność wyników jest istotna,
- wyniki mogą się powtarzać.
W tym przypadku zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego
\(\displaystyle{ \Omega = \{ (i, j): i, j \in \{1,2,3,4,5,6\}\} }\)
składa się ze zbioru dwuelementowych ciągów liczbowych (par uporządkowanych) ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6\}, }\)
czyli dwuelementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego
\(\displaystyle{ |\Omega| = \overline{V_{6}^{2}} = 6^2 =36.}\)
\(\displaystyle{ P(\{(i,j)\}) = \frac{1}{36}, \ \ i, j = 1,2,3,4,5,6.}\)
Powstaje pytanie, czy model pierwszy doświadczenia losowego - jednoczesnego rzutu parą kostek sześciennych określony wzorem \(\displaystyle{ (1) }\) jest dobry?
Odpowiedź jest negatywna. Nie ma na to dowodu matematycznego. Pozostała tylko jedna droga - konfrontacja modelu z rzeczywistością - obserwacja częstości zdarzeń \(\displaystyle{ \{i, j \} }\) i porównanie tych częstości z \(\displaystyle{ (1) }\)
Jeśli mamy dobrze skonstruowany model probabilistyczny doświadczenia losowego \(\displaystyle{ (\Omega, P), }\) to prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(A) }\) jest miarą częstości zachodzenia zdarzenia \(\displaystyle{ A }\) przy wielokrotnej realizacji doświadczenia.
Błędność modelu \(\displaystyle{ (1) }\) rzutu parą kostek symetrycznych nie wynika z niewłaściwego wyboru zdarzeń elementarnych, ale z niewłaściwego przyporządkowania im prawdopodobieństw.
Określając prawdopodobieństwa zgodnie ze wzorem
\(\displaystyle{ P(\{\{i,j\}\}) = \begin{cases} \frac{1}{36} \ \ \text{dla} \ \ i = j \\ \frac{1}{18} \ \ \text{dla} \ \ i< j, \end{cases} }\)
dostajemy dobry model rzutu parą kostek.