Funkcja tworząca ciągu

[Dauda Iliasa]

Celem jest znalezienie funkcji tworzącej dla poniższych ciągów. Z jakich zależności należy w tych przypadkach skorzystać?


a) \(\displaystyle{ a_{n}=7\cdot 5^{n+1} , n=0,1,... }\)

b) \(\displaystyle{ a_{n}=3n-3, n=0,1,... }\)

[Premislav]

Funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) to \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}}\).

a) Zastosuj wzór na sumę zbieżnego szeregu geometrycznego, iloraz równy \(\displaystyle{ 5x}\), pierwszy wyraz równy \(\displaystyle{ 35}\).

b) Osobno napisz \(\displaystyle{ a_{0}+a_{1}x}\), a dla pozostałej części korzystaj z twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu szeregów potęgowych, wskazówka:
\(\displaystyle{ (3n-3)x^{n}=3x^{2}(n-1)x^{n-2}=3x^{2}\left(x^{n-1}\right)'}\)