Wyznaczyć liczbę uporządkowanych par

[Bitinful]

Wyznacz liczbę uporządkowanych par liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( a,b\right) }\), których najmniejszą wspólną wielokrotnością jest liczba \(\displaystyle{ 2^35^711^{13}}\).

Bardzo proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Zauważ, że liczby \(\displaystyle{ a,b}\) mają w rozkładzie na liczby pierwsze jedynie \(\displaystyle{ 2,5,11}\). Bo \(\displaystyle{ a|2^35^711^{13}}\) oraz \(\displaystyle{ b|2^35^711^{13}}\). Zatem \(\displaystyle{ a=2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3}}\) oraz \(\displaystyle{ b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3}}\). Ponad to \(\displaystyle{ \max \left\{ a_1,b_1\right\}=3,\max \left\{ a_2,b_2\right\}=7,\max \left\{ a_3,b_3\right\}=13 }\). Zatem mamy układ warunków:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ przy czym co najmniej jedno jest równe } 13\end{cases}}\)

przy czym oznaczenie \(\displaystyle{ \left[ n\right] }\) to zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,n\right\} }\). Rozdzielmy to na osiem rozłącznych możliwości:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie jedno jest równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie jedno jest równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a= 2^{a_1}5^{a_2}11^{a_3} \\b=2^{b_1}5^{b_2}11^{b_3} \\ a_1,b_1\in \left[ 3\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 3 \\ a_2,b_2\in \left[ 7\right] \ \text{ dokładnie dwa są równe } 7 \\ a_3,b_3\in \left[ 13\right] \text{ dokładnie dwa są równe } 13\end{cases}}\)

No i teraz trzeba zliczyć ile rozwiązań ma każdy z tych układów z osobna. Pierwszy jest najgorszy. Ale sytuacja jest już dość jasna.

[Bitinful]

Dziękuję za odpowiedź. Rozjaśniłeś mi sytuację Chciałbym się teraz tylko upewnić, czy dobrze policzyłem poszczególne przypadki. Wyszło mi, licząc po kolei:

1) \(\displaystyle{ \left( 2\cdot 3\right)\cdot \left( 2\cdot 7\right)\cdot \left( 2 \cdot 13\right) }\)
2) \(\displaystyle{ 1 \cdot \left( 2 \cdot 7\right) \cdot \left( 2\cdot 13\right) }\)
3) \(\displaystyle{ \left( 2\cdot 3\right)\cdot 1 \cdot \left( 2\cdot 13\right) }\)
4) \(\displaystyle{ \left( 2\cdot 3\right)\cdot \left( 2\cdot 7\right)\cdot 1 }\)
5) \(\displaystyle{ 1\cdot1\cdot \left( 2\cdot 13\right) }\)
6) \(\displaystyle{ 1\cdot \left( 2\cdot 7\right)\cdot 1 }\)
7) \(\displaystyle{ \left( 2 \cdot 3\right)\cdot 1 \cdot 1 }\)
8) \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 \cdot 1}\)

Czy to się zgadza?

[Janusz Tracz]

Tak. Wydaje mi się, że wszystko ok.

[kerajs]

Bez podziału na przypadki:
\(\displaystyle{ \left( 2\cdot 3+1\right) \left( 2\cdot 7+1\right) \left( 2 \cdot 13+1\right) }\)

[Bitinful]

Okej, dzięki wielkie