Liczby dziesięciocyfrowe

[matura2021]

Oblicz ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna z cyfr nie jest zerem

[Premislav]

Liczbę \(\displaystyle{ 13}\) można przedstawić w postaci sumy dziesięciu całkowitych dodatnich składników na
\(\displaystyle{ {12\choose 9}}\) sposobów (ogólniej, liczbę \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k\le n}\) całkowitych dodatnich składników: na \(\displaystyle{ {n-1\choose k-1}}\) sposobów), uwzględniając kolejność. Oczywiście nie wywoła to problemu ze składnikami zbyt dużymi, by służyć za cyfry, bo \(\displaystyle{ 13-10=3<9}\), więc nie starczyłoby żetonów na pozostałe niezerowe cyfry.

[matura2021]

Liczbę \(\displaystyle{ 13}\) można przedstawić w postaci sumy dziesięciu całkowitych dodatnich składników na
\(\displaystyle{ {12\choose 9}}\) sposobów (ogólniej, liczbę \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ k\le n}\) całkowitych dodatnich składników: na \(\displaystyle{ {n-1\choose k-1}}\) sposobów), uwzględniając kolejność. Oczywiście nie wywoła to problemu ze składnikami zbyt dużymi, by służyć za cyfry, bo \(\displaystyle{ 13-10=3<9}\), więc nie starczyłoby żetonów na pozostałe niezerowe cyfry.

a mogę prosić o uzasadnienie wzoru?
Bo normalnie to bym próbował z rozpisaniem kombinacji na 9 jedynek cyfra+8 jedynek 2 cyfry + 7 jedynek 3 cyfry itd.

[Premislav]

Zapiszmy \(\displaystyle{ 13=\overbrace{1+1+\ldots+1}^{13}}\). Wyobraźmy sobie, że te jedynki to kulki. Mamy trzynaście kulek i dwanaście miejsc między nimi (reprezentowanych przez te plusy), a żeby podzielić je na dziesięć niepustych grupek, musimy wstawić dziewięć przegródek, więc sposobów podziału jest \(\displaystyle{ {12\choose 9}}\).

[pesel]

Taką dziesięciocyfrową liczbę można zbudować z następujących cyfr:

1. Jedna czwórka i dziewięć jedynek. Czwórkę można postawić na pierwszym, drugim, ... dziesiątym miejscu. Dziesięć sposobów.

2. Jedna trójka, jedna dwójka i osiem jedynek. Trójkę można postawić na dziesięciu dowolnych miejscach, a czwórkę na dowolnym z dziewięciu pozostałych. \(\displaystyle{ 9 \cdot 10 = 90 \ sposobów.}\)

3. Trzy dwójki i siedem jedynek. Pierwszą dwójkę umieszczamy na dowolnym z dziesięciu miejsc, drugą na jednym z dziewięciu pozostałych, a trzecią na jednym z ośmiu pozostałych. Ponieważ dwójki są nierozróżnialne to identyczne układy powtarzałyby się po sześć razy, stąd w dalszej część dzielenie przez sześć. Łącznie \(\displaystyle{ \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120 \ sposobów.}\)

W sumie możliwych jest \(\displaystyle{ 220}\) liczb.

Cały dzisiejszy arkusz tutaj:

Kod: Zaznacz cały

https://static2.cke.gov.pl/PROBNY_EGZAMIN_MATURALNY/2021/10%20marca%209_00/EMAP-R0-100-2103.pdf