Uproszczenie sumy

[insanis]

\(\displaystyle{ \sum_{L=0}^{N} K^L \cdot \left( 1 - \left( 1 - \frac{1}{K^L} \right)^M \right) }\)

\(\displaystyle{ K, M}\) to stałe liczby całkowite.
Czy da się jakoś uprościć tę sumę? A może ją obliczyć?

[insanis]

Przepraszam za odgrzebywanie mojego starego tematu, ale ten problem do mnie powrócił

Wykładnicze zachowanie \(\displaystyle{ K^L}\) jest hamowane przez czynnik \(\displaystyle{ 1-\left(1- \frac{1}{K^L} \right)^M}\), który wraz ze wzrostem \(\displaystyle{ L}\) zbliża się do \(\displaystyle{ 0}\). Empirycznie sprawdziłem, że całe wyrażenie, czyli \(\displaystyle{ K^L \cdot \left( 1-\left(1- \frac{1}{K^L} \right)^M \right) }\) przy rosnącym \(\displaystyle{ L}\) zbiega dosyć szybko do \(\displaystyle{ M}\). Nie potrafię jednak tego uzasadnić. Proszę o pomoc.

[Janusz Tracz]

Można policzyć tę sumę:

\(\displaystyle{ \begin{split}
\sum_{L=0}^{N} K^L \cdot \left( 1 - \left( 1 - \frac{1}{K^L} \right)^M \right) &= \red{\sum_{L=0}^{N} K^L} -\blue{\sum_{L=0}^{N} K^L \left( 1 - \frac{1}{K^L} \right)^M} \\&=\red{ \frac{K^{N+1}-1}{K-1} } -\blue{\sum_{L=0}^{N} K^L \sum_{j=0}^{M} {M \choose j} \frac{(-1)^j}{K^{Lj}} } \\
&= \red{ \frac{K^{N+1}-1}{K-1} } -\blue{\sum_{j=0}^{M} {M \choose j} (-1)^j \sum_{L=0}^{N} \left( \frac{ K}{K^{j} }\right)^L } \\
&= \red{ \frac{K^{N+1}-1}{K-1} } -\blue{\sum_{j=0}^{M} {M \choose j} (-1)^j \frac{K^j-K^{N(1-j)+1}}{K^j-K} }.\\
\end{split}}\)

[zetelka2136]

A jeśli chodzi o taką sumę: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 25+6 \cdot 3 ^{k+1} }\) to w jaki sposób przekształcić to na \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} 25+6 \cdot 3 ^{k} }\) ?