Każda kula w osobnej urnie

[jakub1998]

Mamy \(\displaystyle{ n}\) urn, mam pokazać, że istnieje stała \(\displaystyle{ c>0}\), taka, że po umieszczeniu w urnach \(\displaystyle{ c\sqrt{n}}\) kul, prawdopodobieństwo, że w każdej urnie jest maksymalnie jedna kula jest \(\displaystyle{ \le \frac{1}{e}}\).

Wyznaczyłem prawdopodobieństwo, że w każdej urnie jest maksymalnie jedna kula - \(\displaystyle{ \frac{n!}{(n-c\sqrt{n})!}}\) (bo pierwszą kulę możemy wrzucić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, drugą na \(\displaystyle{ n-1}\), \(\displaystyle{ c\sqrt{n}}\) kulę na \(\displaystyle{ n-c\sqrt{n}+1}\) sposobów), no a wszystkich możliwości wrzucenia tych kul do urn jest \(\displaystyle{ n^{c\sqrt{n}}}\). Dzielimy jedno przez drugie - mamy \(\displaystyle{ \frac{\frac{n!}{(n-c\sqrt{n})!}}{n^{c\sqrt{n}}}}\), natomiast jak to porównać z \(\displaystyle{ e^{-1}}\)?

Mam w zadaniu jedynie hint, żeby użyć wzoru \(\displaystyle{ e^{-x} \ge 1-x}\), próbowałem użyć wzoru Stirlinga na przekształcenie tych obu silni, ale stanąłem w miejscu przy próbie użycia tego wzoru z hinta. Miałby ktoś jakiś pomysł?

[arek1357]

Dziwne i sztuczne zadanie, generalnie to bada się funkcję:

(*) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-c \sqrt{x}+1} - \frac{1}{e}x^{c \sqrt{x}} }\)

ta funkcja dla:

\(\displaystyle{ x \ge 1}\)

Powinna być dla pewnego c ujemna cały czas, ale skoro ma to być prawdziwe dla dla każdego: \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

powinno być:

\(\displaystyle{ c \sqrt{n} \le n }\)

co da nam:

\(\displaystyle{ c \le \sqrt{n} }\)

biorąc pod uwagę, że najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) może być jeden da nam, że:

\(\displaystyle{ 0< c \le 1}\)

A wystarczy sobie szkicować wykresy i zobaczyć, że dla c z tego przedziału ta funkcja\(\displaystyle{ f(x)}\) ostro szybuje w górę...

Może trzeba było robić zadanie dla kul nierozróżnialnych...

[jakub1998]

Hm, może faktycznie źle do tego podszedłem, niestety w zadaniu nic o tym nie ma powiedziane. W takim razie pewnie liczba sposobów na wrzucenie kul, żeby każda miała swoją urnę to będzie \(\displaystyle{ {n \choose c \sqrt{n} } }\), ale jak by to dalej pociągnąć? Bo nie mam za bardzo pomysłu na wszystkie możliwe wrzucenia kul do urn.

[arek1357]

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=c \sqrt{n} }\)