Dzień dobry,
podaję treść zadania z olimpiady o Diamentowy Indeks AGH:
W worku znajduje się 50 skarpet czarnych, 40 brązowych, 30 zielonych i 20 niebieskich. Jaka jest najmniejsza liczba skarpet, które musimy wyjąć na chybił trafił, aby mieć pewność, że wśród nich znajdziemy jednokolorowe pary skarpet dla 20 osób? Odpowiedź uzasadnij.
Osoby z pomysłami proszę o wstawianie swoich rozwiązań, chciałabym sprawdzić, czy myślę dobrze i czy wyniki się zgadzają u mnie zadanie jest robione 'na czuja' i nie bardzo podoba mi się taka forma. Może ktoś potrafi to zrobić ładnie wszystko rozpisując 'matematycznie'?
Pozdrawiam serdecznie.
Wyciąganie skarpetek na chybił trafił - zadanie z olimpiady
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Wyciąganie skarpetek na chybił trafił - zadanie z olimpiady
Odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 43}\).
Z jednej strony żadna mniejsza liczba nie wystarczy: jeśli wylosujemy czterdzieści dwie, to pechowo może się trafić po jednej skarpetce niebieskiej, zielonej i brązowej oraz \(\displaystyle{ 39}\) czarnych, z czego nie można ułożyć dwudziestu par.
Z drugiej strony jeśli wylosujemy \(\displaystyle{ 43}\) skarpetki, to ich liczby w poszczególnych kolorach nie mogą wszystkie być nieparzyste (bo wówczas ich całkowita liczba musiałaby być parzysta), a więc najwyżej trzy skarpetki pozostaną bez pary. A zatem sparowanych skarpetek będzie przynajmniej czterdzieści, czyli tyle ile trzeba.
Z jednej strony żadna mniejsza liczba nie wystarczy: jeśli wylosujemy czterdzieści dwie, to pechowo może się trafić po jednej skarpetce niebieskiej, zielonej i brązowej oraz \(\displaystyle{ 39}\) czarnych, z czego nie można ułożyć dwudziestu par.
Z drugiej strony jeśli wylosujemy \(\displaystyle{ 43}\) skarpetki, to ich liczby w poszczególnych kolorach nie mogą wszystkie być nieparzyste (bo wówczas ich całkowita liczba musiałaby być parzysta), a więc najwyżej trzy skarpetki pozostaną bez pary. A zatem sparowanych skarpetek będzie przynajmniej czterdzieści, czyli tyle ile trzeba.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Wyciąganie skarpetek na chybił trafił - zadanie z olimpiady
Trochę inaczej (szkic) zauważmy, że: pięć skarpetek to minimum aby być pewny, że znajdzie się para..
Mając w ręku \(\displaystyle{ 43}\) skarpetki dzielimy je na \(\displaystyle{ 5}\) skarpetkowe kupki i ewentualną resztę. Takich \(\displaystyle{ 5}\) skarpetkowych kupek jest \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}\). I tyle też osób ubierzemy. Teraz zostaje nam \(\displaystyle{ 43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}\) skarpetek. Dzielimy je na na kupki po \(\displaystyle{ 5}\) i ewentualną resztę. Tym samym ubierając kolejnych \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}\) osób. Potem zostaje nam \(\displaystyle{ 43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor-2 \cdot \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}\) skarpetek które znów dzielimy na kupki po \(\displaystyle{ 5}\) (i resztę), których jest
PS oczywiście tzreba sprawdzić, że \(\displaystyle{ 42}\) to za mało. Ale to już jest pokazane. Choć tą metodą też się da. Mimo, że te obliczenia wyglądają strasznie to w rzeczywistości takie nie są i można to policzyć na kartce w skończonym czasie.
Mając w ręku \(\displaystyle{ 43}\) skarpetki dzielimy je na \(\displaystyle{ 5}\) skarpetkowe kupki i ewentualną resztę. Takich \(\displaystyle{ 5}\) skarpetkowych kupek jest \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}\). I tyle też osób ubierzemy. Teraz zostaje nam \(\displaystyle{ 43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}\) skarpetek. Dzielimy je na na kupki po \(\displaystyle{ 5}\) i ewentualną resztę. Tym samym ubierając kolejnych \(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}\) osób. Potem zostaje nam \(\displaystyle{ 43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor-2 \cdot \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}\) skarpetek które znów dzielimy na kupki po \(\displaystyle{ 5}\) (i resztę), których jest
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor-2 \cdot \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}\)
i tyle też kolejnych osób ubieramy. Procedurę tę powtarzamy aż już nikogo nie możemy ubrać. Okazuje się, że liczba \(\displaystyle{ 43}\) jest najmniejsza aby: \(\displaystyle{
\left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor
+
\left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor
+
\left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor-2 \cdot \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor+...=20
}\)
\left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor
+
\left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor
+
\left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor-2 \cdot \left\lfloor \frac{43-2 \cdot \left\lfloor \frac{43}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor}{5} \right\rfloor+...=20
}\)
PS oczywiście tzreba sprawdzić, że \(\displaystyle{ 42}\) to za mało. Ale to już jest pokazane. Choć tą metodą też się da. Mimo, że te obliczenia wyglądają strasznie to w rzeczywistości takie nie są i można to policzyć na kartce w skończonym czasie.
-
- Użytkownik
- Posty: 65
- Rejestracja: 21 gru 2017, o 14:32
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Wyciąganie skarpetek na chybił trafił - zadanie z olimpiady
Też mi wyszło 43 Dzięki za odpowiedźDasio11 pisze: ↑17 gru 2020, o 23:11 Odpowiedzią jest \(\displaystyle{ 43}\).
Z jednej strony żadna mniejsza liczba nie wystarczy: jeśli wylosujemy czterdzieści dwie, to pechowo może się trafić po jednej skarpetce niebieskiej, zielonej i brązowej oraz \(\displaystyle{ 39}\) czarnych, z czego nie można ułożyć dwudziestu par.
Z drugiej strony jeśli wylosujemy \(\displaystyle{ 43}\) skarpetki, to ich liczby w poszczególnych kolorach nie mogą wszystkie być nieparzyste (bo wówczas ich całkowita liczba musiałaby być parzysta), a więc najwyżej trzy skarpetki pozostaną bez pary. A zatem sparowanych skarpetek będzie przynajmniej czterdzieści, czyli tyle ile trzeba.