Dwumian Newtona

[vladdracul123]

Witam, mam problem z następującym zadaniem z sumą i dwumianem Newtona, będę wdzięczny za pomoc:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{500} (-2)^{k} \cdot {500 \choose k} \cdot 3^{500-k} }\)

[a4karo]

Narysuj sobie wzór Newtona, popatrz na niego długo, potem równie długo patrz na swoje zadanie. Zobaczysz co jest czym czego.

Pamiętaj, że mnożenie jest p przemienne

[vladdracul123]

Rozumiem, że chodzi o ten wzór: \(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k} b^{n-k} }\)
W moim przypadku \(\displaystyle{ n=500}\), \(\displaystyle{ k}\) to po prostu k, \(\displaystyle{ a=-2}\), \(\displaystyle{ b=3}\). I wszystko byłoby fajnie, tylko zgodnie z założeniami \(\displaystyle{ a, b }\) \(\displaystyle{ n}\) mają być liczbami naturalnymi. Co zrobić z tym, że \(\displaystyle{ a=-2}\)?

[Premislav]

Rozumiem, że chodzi o ten wzór: \(\displaystyle{ (a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k} b^{n-k} }\)
W moim przypadku \(\displaystyle{ n=500}\), \(\displaystyle{ k}\) to po prostu k, \(\displaystyle{ a=-2}\), \(\displaystyle{ b=3}\). I wszystko byłoby fajnie, tylko zgodnie z założeniami \(\displaystyle{ a, b }\) \(\displaystyle{ n}\) mają być liczbami naturalnymi. Co zrobić z tym, że \(\displaystyle{ a=-2}\)?

Nic nie zrobić, to w niczym nie przeszkadza. Wystarczy, że \(\displaystyle{ n\in \NN}\). Ten wzór równie dobrze dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\) rzeczywistych, a nawet zespolonych.

[vladdracul123]

W takim razie wszystko jest proste. Na wykładzie zostało zapisane "dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, n}\)...", przez co nastąpiło moje niezrozumienie, że wszystkie one koniecznie muszą być naturalne. Teraz zadanie jest banalne, dzięki za pomoc.