Rekurencyjne równanie liniowe

[janusz47]

Po prawej stronie występuje funkcja potęgowa \(\displaystyle{ n2^{n} }\) i jak obliczyłeś liczba \(\displaystyle{ 2 }\) jest pierwiastkiem równania charakterystycznego - jednorodnego, to w jakiej postaci na podstawie tabelki przewidujesz postać rozwiązania szczegółowego równania niejednorodnego?

[july04]

w takim razie postać równania niejednorodnego ma taką postać \(\displaystyle{ p_ {n}=An^{m}a^{n}}\)
Ale to ostatni krok jaki umiem zrobić.

[janusz47]

Rozwiązanie szczegółowe równania niejednorodnego przewidujemy w postaci:

\(\displaystyle{ x_{n} = C n 2^{n} }\) ( liczba \(\displaystyle{ 2}\) - jest jednokrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego)

Proszę wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ C, }\) podstawiając to rozwiązanie do lewej strony równania i porównując z jego prawą stroną.

[july04]

Dziękuję za próbę wytłumaczenia- ale niestety nie rozumiem co mam teraz dalej robić :/

[janusz47]

Napisałem powyżej. Podstawić do równania i wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ C. }\)

[july04]

\(\displaystyle{ Cna ^{n}=An ^{m}a ^{n}\\ C =An ^{m-1} }\)

Czyli to ma tak wyglądać?

\(\displaystyle{ p _{n}=An ^{m-1}n2 ^{n} }\)

[a4karo]

A przeczytałeś czym jest `m`?

[july04]

Tego niestety nigdzie nie mam wyjaśnionego. Nie wiem co oznacza ta liczba. Podobnie nie wiem co oznacza \(\displaystyle{ A}\). Jest to jakaś liczba.

[janusz47]

Która z liczb (pierwiastków równania charakterystycznego) \(\displaystyle{ -4, }\) czy \(\displaystyle{ 2 }\) występuje po prawej stronie równania ?

[july04]

\(\displaystyle{ 2}\)

[janusz47]

Dobrze.
To przewidując rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego musimy musimy pomnożyć przez funkcję \(\displaystyle{ 2^{n} }\) przez \(\displaystyle{ n.}\)

[july04]

\(\displaystyle{ n \cdot 2 ^{n}=n2 ^{n} }\) Chyba kręcę się w kółko.

[janusz47]

Podstaw porządnie i porównaj wartości współczynników prawej i lewej strony równania.

Dodano po 23 godzinach 5 minutach 5 sekundach:
Z wprowadzenie Pana w błąd za co przepraszam, rozwiążę to zadanie.

Proszę rozwiązać równanie różnicowe:

\(\displaystyle{ a_{n} +2a_{n-1} - 8 a_{n-2} = n\cdot 2^{n}, \ \ (1) }\)

spełniające warunki początkowe: \(\displaystyle{ a_{0} = a(0) = 0, \ \ a_{1} = a(1) =1 }\)

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ x^2 +2x -8 = ( x +4)( x-2) = 0, }\)

ma pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} = -4, \ \ x_{2} = 2. }\)

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego

\(\displaystyle{ a_{oj} = c_{1}(-4)^{n} +c_{2}\cdot 2^{n}. }\)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujemy metodą przewidywania.

Ponieważ po prawej stronie równania występuje \(\displaystyle{ n\cdot 2^{n} }\) - quasi wielomian pierwszego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ n }\) i liczba \(\displaystyle{ 2 }\) jest jednym z pierwiastków równania charakterystycznego, to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przewidujemy w postaci wielomianu drugiego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ n.}\)

(Gdyby jeden z pierwiastków równania charakterystycznego nie powtórzył by się w quasi wielomianie, to przewidywalibyśmy rozwiązanie w postaci \(\displaystyle{ (a\cdot n + b)\cdot 2^{n} }\) -quasi wielomianu pierwszego stopnia stopnia).


\(\displaystyle{ a_{sn}(n) = (a\cdot n^2 +b\cdot n + c)\cdot 2^{n} \ \ (2) }\)

Współczynniki \(\displaystyle{ a, b, c }\) obliczymy, podstawiając równanie \(\displaystyle{ (2) }\) do \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ ( a n^2 +b n + c)\cdot 2^{n} + 2[a(n-1)^2 +b(n-1) + c]\cdot 2^{n-1} - 8[(n-2)^2 +b(n-2) + c ] \cdot 2^{n-2} = n\cdot 2^{n}.}\)

Po wykonaniu potęgowania

\(\displaystyle{ ( a n^2 +b n + c)\cdot 2^{n} + [a(n-1)^2 +b(n-1) + c]\cdot 2^{n} - 2[(n-2)^2 +b(n-2) + c ] \cdot 2^{n-2} = n\cdot 2^{n}.}\)

i podzieleniu obu stron równania przez \(\displaystyle{ 2^{n} }\)

\(\displaystyle{ an^2 +bn + c + an^2 +2an +a +bn -b +c -2an^2 -8a n -8a -2bn +4b -2c = n }\)

\(\displaystyle{ -6a n -7a +3b = 1n + 0, }\)

stąd

\(\displaystyle{ \begin{cases} -6a = 1 \\ -7a + 3b = 0 \\ c = 0, \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ a = -\frac{1}{6}, \ \ -7\cdot \left(-\frac{1}{6} \right) + 3b = 0 , \ \ b= \frac{7}{18}, \ \ c = 0 }\)

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego

\(\displaystyle{ a_{sn}(n) = -\frac{1}{6}n^2 +\frac{7}{18}n. }\)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego

\(\displaystyle{ a_{on} = a_{oj} + a_{sn}, }\)

\(\displaystyle{ a_{on} = c_{1} (-4)^{n} + c_{2}\cdot 2^{n} -\frac{1}{6}n^2 +\frac{7}{18}n }\)

\(\displaystyle{ c_{1}, \ \ c_{2} }\) obliczamy z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ a_{on}(0) = c_{1} + c_{2} = 0 }\)

\(\displaystyle{ a_{on}(1) = -4 c_{1} +2 c_{2}-\frac{1}{6} + \frac{7}{18} = 1 }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} c_{1} + c_{2} = 0 \\ -4c_{1} +2c_{2}= \frac{7}{9} \end{cases} }\)

Mnożymy pierwsze równanie na przykład przez \(\displaystyle{ 4 }\) i dodajemy do równania drugiego

\(\displaystyle{ 6c_{2} = \frac{7}{9}, \ \ c_{2} = \frac{7}{54}, \ \ c_{1} = -\frac{7}{54}. }\)

Rozwiązanie ogólne równania spełniające warunki początkowe:

\(\displaystyle{ a_{n} = -\frac{7}{54} \cdot (-4)^{n} + \frac{7}{54}\cdot 2^{n} -\frac{1}{6}n^2 + \frac{7}{18}n.}\)

[july04]

Dziękuję za pomoc. Jedno dodatkowe pytanie. O ile zmieniłby się wynik, gdyby początkowe równanie wyglądało tak?

\(\displaystyle{ a_{n-1} +2a_{n-2} - 8 a_{n-3} = n\cdot 2^{n}, \ \ (1) }\)

[janusz47]

Wtedy to równanie sprowadzamy do równania poprzedniego, podstawiając

\(\displaystyle{ n -1 = \xi,\ \ (1) }\)

\(\displaystyle{ n-2 = \xi -1, }\)

\(\displaystyle{ n-3 = \xi -2. }\)

Otrzymujemy równanie:

\(\displaystyle{ a_{xi} +2a_{\xi -1} -8 a_{\xi -2} = (\xi +1) 2^{\xi +1} = (2\xi +2)2^{\xi}. }\)

Rozwiązujemy identycznie (jak wyżej) względem zmiennej \(\displaystyle{ \xi, }\) znajdując funkcję \(\displaystyle{ a_{\xi}(\xi) }\)

i podstawieniem \(\displaystyle{ (1) }\) przechodzimy do zmiennej \(\displaystyle{ n. }\)