Ciekawy turniej

[mol_ksiazkowy]

W turnieju uczestniczyło \(\displaystyle{ 20 }\) drużyn (każda z każdą gra jeden mecz). Za wygraną jest \(\displaystyle{ 3}\) punkty, za remis \(\displaystyle{ 1}\) punkt, za przegraną zero. Wszystkie drużyny miały łącznie \(\displaystyle{ 554}\) punkty. Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ 7}\) drużyn, które miały choć jeden remis.

[kerajs]

Rozegrano \(\displaystyle{ {20 \choose 2} =190 }\) meczy, z których 16 zakończyło się remisem.
Drużyn z remisami będzie najmniej jeśli mecze nierozstrzygnięte rozegrają między sobą.
Ponieważ \(\displaystyle{ {6 \choose 2}<16< {7 \choose 2}}\) , to co najmniej 7 drużyn zaliczyło remis.