Zadanie z kombinatoryki, studia

[karmider]

W kiosku jest 6 rodzajów pocztówek. 7 osób kupuje pocztówki, każda osoba kupuje 4 pocztówki. Na ile sposobów mogą to zrobić tak, aby została kupiona przynajmniej jedna pocztówka każdego rodzaju?
Osoby są rozróżnialne, pocztówki tego samego rodzaju są nierozróżnialne i w kiosku jest po 100 pocztówek każdego rodzaju

W portierni są flamastry w 6 kolorach, 5 studentów wybiera sobie po 4 flamastry (dowolne). Na ile sposobów mogą to zrobić tak, aby został wzięty co najmniej 1 flamaster w każdym kolorze ?

Zadania są tego samego typu, gdzie pewne obiekty w różnych rodzajach są wybierane przez osoby i pojawia się założenie, że musi zostać wybrany obiekt każdego rodzaju.

Kompletnie nie wiem jak rozwiązać ten typ zadania.

[janusz47]

1.

Zdarzenie \(\displaystyle{ A }\) -" student kupił przynajmniej jedną pocztówkę każdego rodzaju".

Zdarzenie przeciwne.

\(\displaystyle{ \overline{A} }\) -" student kupił każdą z czterech pocztówkę tego samego rodzaju".

\(\displaystyle{ |A| = |\Omega| - |\overline{A}| =...}\)

2.

Też zdarzeniem przeciwnym.

[kerajs]

Moim zdaniem zdarzenie:

1.
Zdarzenie \(\displaystyle{ A }\) -" student kupił przynajmniej jedną pocztówkę każdego rodzaju".
]

nie jest zdarzeniem opisanym w:

W kiosku jest 6 rodzajów pocztówek. 7 osób kupuje pocztówki, każda osoba kupuje 4 pocztówki. Na ile sposobów mogą to zrobić tak, aby została kupiona przynajmniej jedna pocztówka każdego rodzaju?

Ponadto:

\(\displaystyle{ \overline{A} }\) -" student kupił każdą z czterech pocztówkę tego samego rodzaju".

nie jest, moim zdaniem, zdarzeniem przeciwnym do żadnego z powyższych.

***************************************************************

Zadanie, o ile się nie mylę, można rozwiązać z zasady włączeń i wyłączeń, lecz rozwiązanie jest dość długie.
\(\displaystyle{ \left| A \right|=\left[ {6 \choose 4}+{6 \choose 3}{3 \choose 1}+{6 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{6 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 1}\left[ {5 \choose 4}+{5 \choose 3}{3 \choose 1}+{5 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{5 \choose 1}\right]^7 + \\ +{6 \choose 2}\left[ {4 \choose 4}+{4 \choose 3}{3 \choose 1}+{4 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{4 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 3}\left[ {3 \choose 3}+{3 \choose 2}{2 \choose 1} +{3 \choose 1}\right]^7 +{6 \choose 4}\left[ {2 \choose 2} +{2 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 5}\left[ {1 \choose 1}\right]^7 }\)

Może ktoś zna łatwiejszy/szybszy/krótszy sposób na rozwiązanie?

[karmider]

Czy mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób definiujesz zbiór A1?
Nie do końca łapie dlaczego podnosisz do potęgi 7, a nie mnożysz razy 7 tak jak jest w twierdzeniu zasad włączeń i wyłączeń.

[kerajs]

Czy mógłbyś wyjaśnić w jaki sposób definiujesz zbiór A1?

Wyjaśnij co rozumiesz przez \(\displaystyle{ A_1}\), bo ja takiego oznaczenia nie użyłem.

Nie do końca łapie dlaczego podnosisz do potęgi 7, a nie mnożysz razy 7 tak jak jest w twierdzeniu zasad włączeń i wyłączeń.

To rozwiązanie do pierwszego zadania. Do potęgi 7 podnoszona jest liczba możliwych układów pocztówek zakupionych przez jedną osobę, gdyż osób było 7.

[FasolkaBernoulliego]

Zadanie, o ile się nie mylę, można rozwiązać z zasady włączeń i wyłączeń, lecz rozwiązanie jest dość długie.
\(\displaystyle{ \left| A \right|=\left[ {6 \choose 4}+{6 \choose 3}{3 \choose 1}+{6 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{6 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 1}\left[ {5 \choose 4}+{5 \choose 3}{3 \choose 1}+{5 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{5 \choose 1}\right]^7 + \\ +{6 \choose 2}\left[ {4 \choose 4}+{4 \choose 3}{3 \choose 1}+{4 \choose 2} \left(1+{2 \choose 1}\right) +{4 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 3}\left[ {3 \choose 3}+{3 \choose 2}{2 \choose 1} +{3 \choose 1}\right]^7 +{6 \choose 4}\left[ {2 \choose 2} +{2 \choose 1}\right]^7- {6 \choose 5}\left[ {1 \choose 1}\right]^7 }\)

Może ktoś zna łatwiejszy/szybszy/krótszy sposób na rozwiązanie?

W zasadzie myślałem (chyba) podobnie. Nie wiem, czy dobrze interpretuję zapisany przez Ciebie wzór. Rozumiem to tak, że pierwszy składnik to liczba wszystkich możliwych wyborów pocztówek. Drugi składnik to wybór pomijanej przez wszystkich pocztówki (6 sposobów) przemnożony przez liczbę możliwych wyborów spośród pozostałych pocztówek, trzeci składnik to podobnie wybór dwóch pomijanych pocztówek (odejmowaliśmy to dwa razy, więc musimy dodać), potem trzech i tak dalej. Problem pojawia się przy trzech i czterech pomijanych pocztówkach. Wydaje mi się, że źle tam policzyłeś liczbę możliwości lub ja czegoś nie ogarniam (wciąż każda osoba wybiera 4 pocztówki!). Jeśli chodzi o prostszy sposób, to można skorzystać ze wzoru na liczbę kombinacji z powtórzeniami (wybieramy 4-elementowy multizbiór pocztówek z gruby k pocztówek, k = 6,5,4,3,2,1), co upraszcza nieco zapis (i zakładając, że mam rację - nie naraża nas na popełnienie błędu w obliczeniach). W miejsce nawiasów kwadratowych mielibyśmy
\(\displaystyle{ {9 \choose 4}, {8 \choose 4}, \ldots }\)