Prawdopidobieństwo i podzielność

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
matematykipatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 229
Rejestracja: 12 mar 2018, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wejherowo
Podziękował: 87 razy

Prawdopidobieństwo i podzielność

Post autor: matematykipatyk » 28 lip 2020, o 20:51

Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,...,2010\right\}}\) losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrana liczba nie jest podzielna ani przez \(\displaystyle{ 6}\), ani przez \(\displaystyle{ 15}\).
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ 1005+670+402-335-134+67 = 1675}\)
podz. prze 2 +podz. przez 3+podz.prez5 - podz.przez 2 i 3 - podz. przez 3 i 5 + podz przez 2 i 3 i 5
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1675}{2010}= \frac{5}{6} }\)
Odpowiedź w książce: \(\displaystyle{ P(A)= \frac{803}{1005}}\) .
Proszę o pomoc.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23173
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3159 razy

Re: Prawdopidobieństwo i podzielność

Post autor: piasek101 » 28 lip 2020, o 21:54

Jakoś dziwnie to liczysz : od wszystkich odejmij podzielne przez 6, odejmij podzielne przez 15, dodaj podzielne przez 6 i 15. Powinno wyjść tyle co w odpowiedzi (nie robiłem).

[edit] Jeśli Twoje poszczególne wyniki są dobre to wychodzi \(\displaystyle{ \frac {804}{1005}}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15096
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5006 razy

Re: Prawdopidobieństwo i podzielność

Post autor: Premislav » 28 lip 2020, o 22:30

Nie trzeba (choć można) schodzić aż do czynników pierwszych. W zbiorze \(\displaystyle{ \left\{1,2,\ldots 2010\right\}}\) mamy:
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2010}{6}\right\rfloor =335}\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\);
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2010}{15}\right\rfloor =134}\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 15}\);
\(\displaystyle{ \left\lfloor \frac{2010}{30}\right\rfloor=67 }\) liczb podzielnych przez \(\displaystyle{ 6}\) i przez \(\displaystyle{ 15}\) (bo to jest równoważne podzielności przez \(\displaystyle{ \text{NWW}(6,15)=30}\)).
Zatem moc zbioru będącego dopełnieniem zbioru zdarzeń sprzyjających wynosi, na mocy zasady włączeń i wyłączeń,
\(\displaystyle{ 335+134-67=402}\).
Wobec tego, z uwagi na \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A')=1-\mathbf{P}(A)}\), odpowiedź to
\(\displaystyle{ 1-\frac{402}{2010}=\frac{804}{1005}=\frac{4}{5}}\)

C++ wyrzuca mi ten sam wynik (nie ufam sobie w kwestii kombinatoryki, więc sprawdziłem moce zbiorów prostym brutem).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6295
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1357 razy

Re: Prawdopidobieństwo i podzielność

Post autor: janusz47 » 29 lip 2020, o 10:42

Drugi sposób (prawo de Morgana dla zdarzeń)

Za zdarzenie elementarne przyjmujemy wylosowanie jednej liczby.

Oznaczmy przez i zdarzenie elementarne " wyciągnięto liczbę i "

gdzie

\(\displaystyle{ i \in\{ 1,2,..., 2010\} .}\)

Uznajemy wszystkie zdarzenia elementarne za jednakowo możliwe.

Wówczas modelem probabilistycznym rozważanego doświadczenia losowego jest trójka \(\displaystyle{ (\Omega, \ \ 2^{\Omega}, \ \ P) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \Omega = \{1,2,...,2010\} }\)

\(\displaystyle{ 2^{\Omega} -}\) klasa zdarzeń probabilizowalnych łącznie ze zdarzeniem niemożliwym i zdarzeniem pewnym.

\(\displaystyle{ P(\{i\}) = \frac{1}{2010} }\) dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{1,2,...,2010\}. }\)

Oznaczmy przez

\(\displaystyle{ A }\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 6 }\)

\(\displaystyle{ B }\) - zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 15.}\)

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \overline{A} \cap \overline{B}. }\)

\(\displaystyle{ \overline{A} \cap \overline{B} = prawo \ \ de \ \ Morgana = \overline{A \cup B} = \Omega - (A \cup B).}\)

Stąd

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\Omega) - P(A\cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P( A \cap B)]. }\)

Obliczenie wartości prawdopodobieństw \(\displaystyle{ P(A), P(B), P(A \cap B) }\) jak Premislav, wykorzystując funkcję Entier.

\(\displaystyle{ P(\overline{A} \cap \overline{B}) = \frac{804}{1005} = \frac{4}{5}.}\)

ODPOWIEDZ