grafy

[Sigman]

Cześć. Mam problem z ćwiczeniem 3.8 z "Kombinatoryki" Neugebauera.
Treść:
Na każdej z 2011 krawędzi pewnego wielościanu napisano jedną z liczb \(\displaystyle{ +1}\) albo \(\displaystyle{ -1}\). Uzasadnić, że istnieje taki wierzchołek tego wielościanu, że iloczyn liczb napisanych na wszystkich wychodzących z tego wierzchołka krawędziach jest równy \(\displaystyle{ +1}\).

[kerajs]

Przypuszczam, że błędnie przepisana jest treść zadania.
Przy powyższej można wskazać wielościany nie spełniające powyższej tezy.
Np:
W 1004-boku numeruję kolejno wierzchołki od 1 do 1004, a jego kolejnym bokom przypisuję przemiennie wartości 1,-1,1,-1,.. . Nad nim wybieram dwa wierzchołki o numerach 1005 i 1006 połączone krawędzią o wartości -1. Wierzchołki od 1 do 503 łączę krawędziami z wierzchołkiem 1005, a wierzchołki od 503 do 1004 oraz 1 łączę z wierzchołkiem 1006. Tym krawędziom przypisuję wartość 1. Jak łatwo sprawdzić, ten wielościan ma 2011 krawędzi, a w każdym wierzchołku iloczyn wychodzących z niego krawędzi wynosi -1.

[Sigman]

Przypuszczam, że błędnie przepisana jest treść zadania.

Sprawdziłem, teza jest prawidłowo przepisana. Jest to ćwiczenie do twierdzenia o uściskach dłoni.

W tezie powinno być wielościanu w \(\displaystyle{ \RR^2 }\), prawda?

[kerajs]

Sprawdziłem, teza jest prawidłowo przepisana.

Więc jest błędna. Do jej obalenia wystarczy jeden kontrprzykład, a ten wskazałem powyżej.

W tezie powinno być wielościanu w \(\displaystyle{ \RR^2 }\), prawda?

Strasznie płaskie są wielościany w \(\displaystyle{ \RR^2 }\).