Suma szeregu - pytanie

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
matfanka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 cze 2020, o 10:18
Płeć: Kobieta
wiek: 25

Suma szeregu - pytanie

Post autor: matfanka » 12 lip 2020, o 13:29

Mam pytanie dotyczące sumy szeregu. Dlaczego licząc poniższą sumę, jak rozbijemy ją na osobne sumy w ostatnim wyrazie pojawia się "n", pomimo tego, że początkowo nie ma tam żadnej zmiennej? Reszta obliczeń jest dla mnie jasna, ale nie wiem, dlaczego w stałej (?) pojawiła się zmienna? Czy ktoś mógłby mi to wyjaśnić?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k2 ^{k+1}- 2 ^{k+1}+2)= \sum_{k=1}^{n} k2 ^{k+1}- \sum_{k=1}^{n} (2 ^{k+1}) +2n }\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15096
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5006 razy

Re: Suma szeregu - pytanie

Post autor: Premislav » 12 lip 2020, o 13:39

Po prostu Deus vult.

Czy w reszcie obliczeń pojawia się takie przejście:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left(k2^{k+1}-2^{k+1}+2\right)=\sum_{k=1}^{n}k2^{k+1}-\sum_{k=1}^{n}2^{k+1}+\sum_{k=1}^{n}2}\) :?:
Jeśli tak i jeśli rozumiesz, skąd to się wzięło, to trochę nie rozumiem pytania. Jeśli nie, to podziel się z nami, proszę, wspomnianą resztą obliczeń.

matfanka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 1 cze 2020, o 10:18
Płeć: Kobieta
wiek: 25

Re: Suma szeregu - pytanie

Post autor: matfanka » 12 lip 2020, o 15:02

Nie, nie pojawia się. Druga linijka obliczeń jest jak napisałam. Mogę napisać resztę, ale nie sądzę, że coś tu to zmienia.

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}(k2 ^{k+1}- 2 ^{k+1}+2)= \sum_{k=1}^{n} k2 ^{k+1}- \sum_{k=1}^{n} (2 ^{k+1}) +2n =
2 \sum_{k=1}^{n}k2 ^{k}- (-4+2 ^{n+2} )+2n=2[2 ^{n+1}(n+1)+2 ]+4-2 ^{n+2}+2n=
2 ^{n+2}(n-1)+2 ^{2}+4-2 ^{n+2}+2n=
n2 ^{n+2}-2 ^{n+3}+2n+8

}\)


Chodzi mi o to, że w pozostałej części sumy są zmienne k, które zmieniają się od 1 do n, a dlaczego licząc sumę z "2", gdzie nie ma zmiennej pojawia się "n"? Czy stałej nie mogę wyłączyć przed sumę?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15096
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 151 razy
Pomógł: 5006 razy

Re: Suma szeregu - pytanie

Post autor: Premislav » 12 lip 2020, o 15:20

No to po prostu to przejście, które napisałem, zostało pominięte, ale ono jest tam implicite między pierwszym a drugim wyrażeniem.
Po prostu \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}2=\overbrace{2+2+\ldots+2}^{n}=2n}\)

ODPOWIEDZ