Liczby harmoniczne - sumy iloczynów o parzystej ilości czynników

[piotrek_skoczek9]

Hej,
przerabiam ostatnio zadania z poprzednich egzaminów aktuarialnych pod kątem prawdopodobieństwa i statystyki, i przy jednym utknąłem:

Kod: Zaznacz cały

https://www.knf.gov.pl/knf/pl/komponenty/img/78_Prawdopodobienstwo_i_statystyka_61487.pdf

- zadanie 7.

Niech \(\displaystyle{ S_n=\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...,\frac{1}{n}\}}\) dla \(\displaystyle{ n≥6}\). Dla \(\displaystyle{ \{a_1,...,a_m\}=S⊆S_n}\) (oczywiście \(\displaystyle{ 1≤m≤n−1}\)) niech \(\displaystyle{ P(S)}\) oznacza iloczyn wszystkich elementów z \(\displaystyle{ S}\), tzn. \(\displaystyle{ P(S) = ∏_{i=1}^m a_i}\). Zdefiniujmy \(\displaystyle{ T_{parz} = ∑_{S⊆S_n, |S|jest parzyste} P(S)}\), tzn. \(\displaystyle{ T_{parz}}\) jest sumą wszystkich takich iloczynów dla wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ S}\) o parzystej liczbie elementów.
Ile wynosi \(\displaystyle{ T_{parz}}\)?

Ktoś ma pomysł jak do tego w ogóle podejść?

[Slup]

Zauważ, że

$$\big(1+\frac{1}{2}\big)\big(1+\frac{1}{3}\big)...\big(1+\frac{1}{n}\big) = 1 + \sum_{S\subseteq S_n,|S|\neq 0\,\mathrm{parzysta}}P(S) + \sum_{S\subseteq S_n,|S|\,\mathrm{nieparzysta}}P(S)$$

oraz

$$\big(1-\frac{1}{2}\big)\big(1-\frac{1}{3}\big)...\big(1-\frac{1}{n}\big) = 1 + \sum_{S\subseteq S_n,|S|\neq 0\,\mathrm{parzysta}}P(S) - \sum_{S\subseteq S_n,|S|\,\mathrm{nieparzysta}}P(S)$$

Dodajemy stronami te równości i dostajemy

$$2 + 2\cdot \sum_{S\subseteq S_n,|S|\neq 0\,\mathrm{parzysta}}P(S) = \big(1+\frac{1}{2}\big)\big(1+\frac{1}{3}\big)...\big(1+\frac{1}{n}\big) + \big(1-\frac{1}{2}\big)\big(1-\frac{1}{3}\big)...\big(1-\frac{1}{n}\big) = $$
$$= \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot ...\cdot \frac{n+1}{n} + \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot ...\cdot \frac{n-1}{n} = \frac{n+1}{2} + \frac{1}{n} = \frac{n^2+n+2}{2n}$$

Zatem

$$\sum_{S\subseteq S_n,|S|\neq 0\,\mathrm{parzysta}}P(S) = \frac{n^2 + n + 2}{4n} -1 = \frac{n^2 - 3n + 2}{4n}$$

[piotrek_skoczek9]

Wow.. w życiu bym na to nie wpadł, dziękuję za pomoc