Zasada Dirichleta

[Veranim]

Cześć, mam problem z zadaniem:

Z rodziny wszystkich \(\displaystyle{ 10}\)-elementowych podzbiorów zbioru liczb \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,50\}}\) wybrano \(\displaystyle{ 500}\) podzbiorów. Uzasadnić że wśród nich znajdują się co najmniej dwa o jednakowej sumie.

Doszedłem do wniosków że istnieje \(\displaystyle{ 10272278170}\) możliwych takich podzbiorów. Maksymalna suma to \(\displaystyle{ 455}\), a minimalna to \(\displaystyle{ 55}\) więc jest \(\displaystyle{ 401}\) możliwych sum. Niestety nie mam pomysłu co dalej. Mógłby ktoś mi to wytłumaczyć?

[Premislav]

To, ile jest wszystkich możliwych podzbiorów, nie ma szczególnego znaczenia (chyba że próbowałbyś przeprowadzić jakiś dowód nie wprost w pewien szczególny sposób), ponieważ z treści zadania wiemy, że wybrano \(\displaystyle{ 500}\) z nich.
Ale już prawie rozwiązałeś. Tak, najmniejsza możliwa suma to \(\displaystyle{ 1+2+\ldots+10=55}\), a największa to \(\displaystyle{ 41+42+\ldots+50=5\cdot 91=455}\), to się zgadza. Skoro jest \(\displaystyle{ 500}\) wybranych podzbiorów, w szczególności jakkolwiek więcej niż \(\displaystyle{ 401}\), a możliwych sum jest \(\displaystyle{ 401}\), to z zasady szufladkowej Dirichleta pewne dwa podzbiory będą miały taką samą sumę elementów.

[JHN]

Najpierw

... wybrano 500 podzbiorów.

potem

...więc jest 401 możliwych sum.

i w czym problem?

Pozdrawiam