Jak policzyć liczbę różnych dróg z np. punktu B do D? Albo z A do B?
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego, nie jest to moja praca domowa, po prostu uczę się na kolokwium a na rozwiązanych przykładach najłatwiej się uczyć.
Można się zastanowić ile jest ciągów złożonych z \(\displaystyle{ n+k+\ell}\) elementów takich, że \(\displaystyle{ \underbrace{ \uparrow } _{n\text{ razy}}, \underbrace{ \rightarrow } _{k\text{ razy}} ,\underbrace{ \odot } _{\ell\text{ razy}}}\). Taki ciąg koduje poruszanie się na prostopadłościennej siatce w taki sposób, że wyraz \(\displaystyle{ \uparrow }\) mówi aby iść w górę, wyraz \(\displaystyle{ \rightarrow}\) aby iść w prawo a \(\displaystyle{ \odot}\) aby iść w głąb siatki. Pytanie zatem ile jest istotnie różnych ustawiań tych symboli. Można to zliczyć rozważając permutację wszystkich a potem dzieląc przez permutację tych samych elementów co daje:
\(\displaystyle{ \text{liczba dróg w prostopadłościanie } \left( n \times k \times \ell\right) = \frac{\left( n+k+\ell\right)! }{n!k!\ell!} }\)
od razu uogólniłem ten wzór aby teraz było łatwo zliczyć drogi w prostokącie. Kładąc \(\displaystyle{ \ell=0}\) liczba dróg w prostokącie to:
\(\displaystyle{ \text{liczba dróg w prostokącie } \left( n \times k\right) = \frac{\left( n+k\right)! }{n!k!} }\)
