Udowodnić tożsamość

[parchimus]

Udowodnić tożsamość rozważając delegacje złożone z \(\displaystyle{ n}\) kobiet i \(\displaystyle{ m}\) mężczyzn.

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{m+n}{k}}\)

[Janusz Tracz]

Powiedzmy, że masz firmę \(\displaystyle{ m+n}\) osobową gdzie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) to odpowiednio liczba mężczyzn i kobiet. Prawa strona (z definicji) mówi na ile sposobów można z pośród wszystkich wybrać \(\displaystyle{ k}\) osobową delegację. Lewa strona rozbija to zaliczanie na delegacje z \(\displaystyle{ 0}\) kobiet, \(\displaystyle{ 1}\) kobietą, \(\displaystyle{ 2}\) kobietami, ... , \(\displaystyle{ k}\) kobietami.